Как вы определяете «естественный» внутренний продукт в пространстве тензорного произведения?

Основой пространства тензорного произведения являются векторы$|v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$, где$i = 1,\ldots,N_V$и$j = 1, \ldots, N_W$, где$N_V$и$N_W$размеры$V$и$W$, соответственно. Обратите внимание, что мы включаем все комбинации, а не только те, где$i=j$. Вектор$|u\rangle$таким образом можно записать:

$$|u\rangle = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} u_{ij} |v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$$

Естественный внутренний продукт между двумя векторами$|a\rangle,|b\rangle$затем:

$$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \langle v_{i'} | v_i \rangle \langle w_{j'} | w_j \rangle$$ если $\{|v_1\rangle\ldots,|v_i\rangle,\ldots,|v_{N_V}\rangle\}$и $\{|w_1\rangle\ldots,|w_j\rangle,\ldots,|w_{N_W}\rangle\}$оба основания ортонормированы (в квантовой механике они почти всегда таковы), это упрощается до: $$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \delta_{ii'} \delta_{jj'} = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} b^*_{ij} a_{ij}$$

---

Чтобы мотивировать «естественность» этого выбора, я хотел бы указать, что знакомое пространство функций (т. е. волновых функций) многих переменных (скажем,$x,y,z$) есть тензорное произведение пространств функций отдельных переменных. В этом можно убедиться, просто заметив, что функция$f(x,y,z)$необходимо указать значение для всех возможных комбинаций координат$(x,y,z)$, точно так же, как вектор в пространстве, которое вы даете, характеризуется своим коэффициентом$u_{ij}$для всех возможных пар индексов. Внутренний продукт двух функций$f(x,y,z)$и$g(x,y,z)$это конечно:

$$\int dx \int dy \int dz g^*(x,y,z) f(x,y,z)$$ что полностью аналогично общему определению, данному выше.

Относительно обозначения индекса: Нильсен и Чуанг рассматривают произвольные конечные суммы.

$$\sum_{i\in I} a_i \left| v_i \right\rangle \otimes \left| w_i \right\rangle, \qquad a_i~\in~\mathbb{C},$$ в тензорном произведении $V\otimes W$, где набор индексов $I$произволен, но конечен: $|I|<\infty$. Не предполагается , скажем, линейная независимость $$\left| v_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ Также нет предположения о линейной независимости $$\left| w_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ В частности, нет необходимости предполагать, что векторные пространства $V$и $W$имеют одинаковую размерность.