Тензорное произведение в квантовой механике

$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$является громоздкой записью для записи ket, соответствующего$\psi$функция$\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$, где$\mathbf r_i$относится к координатам$i$-я подсистема. Вот почему порядок факторов в$\otimes$продукт не имеет значения; полученный кет соответствует тому же$\psi$функция и, таким образом, тот же кет.

С другой стороны,$|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$(без меток) предназначен для чтения в соответствии с другим соглашением; здесь обычно понимают, что порядок фактора означает подсистему, к которой он относится. Так

$|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$обозначает кет, соответствующий$\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$как только$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$делает, но :

$|\chi\rangle \otimes |\phi\rangle$обозначает кет, соответствующий$\chi(\mathbf r_1)\phi(\mathbf r_2)$что не то же самое. Это связано с разным значением$\otimes$используется обозначение.

Вы правы в том, что тензорное произведение вообще не коммутирует. Порядок векторов в некотором тензорном произведении, скажем

$$\begin{equation*} |\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\xi\rangle \equiv |u\rangle \end{equation*}$$ неявно относится к тому, как полученное гильбертово пространство определяется через тензорное произведение. Приведенным выше векторам поставим в соответствие $|\psi\rangle\in H_{\psi}$, $|\phi\rangle\in H_{\phi}$и $|\xi\rangle\in H_{\xi}$. В этом случае мы неявно сказали, что гильбертово пространство для нашего вектора $|u\rangle$является $$\begin{equation*} |u\rangle\in U\equiv H_{\psi}\otimes H_{\phi}\otimes H_{\xi} \end{equation*}$$ Просто нужно помнить о порядке формирования лежащего в основе гильбертова пространства. Что касается физического описания в квантовой теории, то порядок не имеет значения.

В частности, в вашем случае, когда вы говорите

$$\begin{equation*} |\chi(2)\rangle\otimes |\phi(1)\rangle \end{equation*}$$ это просто означает, что вектор принадлежит $H_{2}\otimes H_{1}$, скорее, чем $H_{1}\otimes H_{2}$.

Представьте себе две разные частицы, например, протон и электрон, первая из которых описывается функциями в гильбертовом пространстве.$\mathcal H_p$, а последний — функциями в гильбертовом пространстве$\mathcal H_e$. Теперь предположим, что базовые состояния$\phi_1, \phi_2,...$в$\mathcal H_p$и база$\chi_1, \chi_2,...$в$\mathcal H_e$. Ваша пара частиц (протон, электрон) или (электрон, протон) ? Это не имеет значения, не так ли? То же и с описанием состояния пира,

$$\Psi = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \phi_i \otimes \chi_j = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \chi_i \otimes \phi_j . \tag {i}$$

Теперь существует ситуация, когда важен порядок: когда функции$\chi$и$\phi$выглядят одинаково, например, собственные функции спин-$z$проекционный оператор,$|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$. В этом случае вместо того, чтобы указывать нижними индексами, к какой частице мы относимся, мы предполагаем порядок, например, в каждом произведении состояний мы пишем сначала состояние электрона, а затем протона:$|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle$означает, что электрон имеет спин вверх, а протон - вниз.