Тензорное произведение в квантовой механике?

$\lvert A\rangle \langle B \rvert$является тензором кеты и бюстгальтера (ну, дух). Это означает, что это элемент тензорного произведения гильбертова пространства.$H_1$(вот где живут кеты) и двойственного гильбертова пространства$H_2^\ast$, где живут бюстгальтеры. Хотя для гильбертовых пространств их двойственные изоморфны исходному пространству, следует помнить об этом различии. Так что мы можем "кормить" кет$\lvert \psi\rangle$из$H_2$к бюстгальтеру в$\lvert \phi\rangle\otimes \langle\chi\rvert \in H_1\otimes H_2^\ast$, и остаются с состоянием в$H_1$данный$\langle \chi \vert \psi\rangle \lvert \phi\rangle$. Обычный вариант использования такого тензорного произведения - это когда$H_1=H_2$построить карту из$H_1$самому себе, например, проектор на состояние$\lvert \psi \rangle$дан кем-то$\lvert\psi\rangle \langle \psi \rvert$.

В общем случае тензор в$H_2 \otimes H_1^\ast$соответствует линейный оператор$H_1\to H_2$. В конечномерном случае это все линейные операторы , в бесконечномерном случае это уже неверно, например$H^\ast \otimes H$являются в точности операторами Гильберта-Шмидта на$H$.

В контракте тензор$\lvert A\rangle\otimes \lvert B\rangle$(тоже только что написал$\lvert A \rangle \lvert B\rangle$) в$H_1\otimes H_2$, хотя и соответствует билинейному отображению$H_1\times H_2\to\mathbb{C}$по определению обычно означает не оператор, а состояние . Даны две квантовые системы$H_1$а также$H_2$,$H_1\otimes H_2$— пространство состояний объединенной системы (почему — см. этот вопрос ).

Понятие тензорного произведения не зависит от структуры гильбертова пространства, оно определено для векторных пространств на поле$\mathbb K$(обычно$\mathbb R$или же$\mathbb C$). Формальное определение дано ниже (есть много эквивалентных подходов).

Во-первых, если$V$векторное пространство,$V^*$обозначает его алгебраическое сопряженное пространство , а именно векторное пространство линейных отображений$f: V \to \mathbb K$с векторной структурой, определяемой:

$$(af+bg)(u) := af(u) + bg(u)\quad \forall u \in V \tag 0$$ если $f,g \in V^*$. Оказывается, что $\textrm{dim} \,V = \textrm{dim} \,V^*$если $\textrm{dim}\, V$конечно, доказательство элементарно. Однако данное определение $V^*$не требует конечности размерности $V$.

Чтобы продолжить, обратите внимание, что$V$отождествляется с подпространством$(V^*)^*$с помощью инъективного линейного отображения

$$\imath: V \ni v \mapsto \imath(v) \quad \mbox{where $\imath(v)(f) := f(v)$ if $f \in V^*$}\tag 1$$ Линейное вложение $\imath : V\to (V^*)^*$является естественным изоморфизмом векторного пространства при условии, опять же, $\textrm{dim}\, V$конечно, доказательство очевидно, поскольку вложение является линейным и инъективным отображением между пространствами одинаковой конечной размерности.

Вложение (1) позволяет определить векторное пространство, называемое тензорным произведением

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$$ векторных пространств $V_1,\ldots, V_n$, с общим полем скаляров $\mathbb K$.

Тензорное произведение - это подпространство векторного пространства${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$мультилинейных карт $F$с

$$F: V^*_1\times \cdots \times V^*_n \ni (f_1,\ldots, f_n) \mapsto F(f_1,\ldots, f_n)\:.$$ Структура векторного пространства на ${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$определяется вдоль очевидного обобщения (0).

На самом деле, если мы выделим$v_i \in V_i$за$i=1,\ldots, n$мы можем построить полилинейное отображение над$V^*_1\times \cdots \times V^*_n$называется тензорным произведением векторов$v_i \in V_i$в качестве

$$v_1\otimes \cdots \otimes v_n : (f_1,\ldots, f_n) \mapsto f_1(v_1)\cdots f_n(v_n)\:.$$

Определение .$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$является подпространством${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$натянутый на все конечные линейные комбинации тензорных произведений$v_1\otimes \cdots \otimes v_n$за$v_i \in V_i$за$i=1,\ldots, n$.

Оказывается, если$dim V_i$конечен для каждого$i$, тогда$\dim (V_1 \otimes \ldots \otimes V_n) = \prod_{i=1}^n dim V_i$а также

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n = {\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)\:.$$ (Существует свойство пары $(V_1 \otimes \ldots \otimes V_n, \otimes)$называется свойством универсальности , которое характеризует понятие тензорного произведения на уровне теории категорий, но я не считаю необходимым описывать его здесь.)

Перейдем к гильбертовому тензорному произведению гильбертовых пространств. Рассмотрим конечное число (комплексных) гильбертовых пространств$H_1, \ldots, H_n$с соответствующими эрмитовыми скалярными произведениями$\langle \cdot| \cdot \rangle_1, \ldots, \langle \cdot| \cdot \rangle_n$. Опираясь на приведенное выше определение, мы можем сначала определить их алгебраическое тензорное произведение

$$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n\:.$$ Это еще не гильбертово пространство. Однако можно (не так просто) доказать, что $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$допускает эрмитово скалярное произведение, индуцированное произведениями каждого $H_i$. Это скалярное произведение $\langle \cdot| \cdot \rangle$это единственное праволинейное и левоантилинейное расширение $$\langle \psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n| \phi_1 \otimes \cdots \otimes\phi_n\rangle = \prod_{i=1}^n \langle \psi_i|\phi_i\rangle_i \:.\tag 2$$ Указанное (анти)линейное расширение необходимо , поскольку $\psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n$не является родовым элементом $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, общий элемент является конечной линейной комбинацией этих элементов!

Оказывается, единственное (анти)линейное расширение (2) определяет эрмитово скалярное произведение на$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, в частности, расширение положительно определено .

Определение . Гильбертово тензорное произведение (комплексных) гильбертовых пространств$H_1, \ldots, H_n$является (комплексным) гильбертовым пространством$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$задано как пополнение алгебраического тенсотного произведения$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$относительно эрмитова скалярного произведения$\langle\cdot |\cdot \rangle$что однозначно (анти)линейно продолжает (2).

Завершение$\overline{V}$векторного пространства$V$снабжен эрмитовым скалярным произведением$\langle \cdot |\cdot \rangle$является полным (гильбертовым) пространством классов эквивалентности последовательностей Коши в$V$оснащен уникальным непрерывным расширением$\langle \cdot |\cdot \rangle$. Таким образом, оно определено однозначно (с точностью до изоморфизмов гильбертова пространства) и$V$плотный в$\overline{V}$.

Фундаментальный (также и в КМ) результат состоит в том, что

Предложение . Если$\{\psi_{i,j_i}\}_{j_i\in I_j} \subset H_i$является гильбертовым базисом (даже несчетным) гильбертова пространства$H_i$тогда

$$\{\psi_{1,j_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{n,j_n}\}_{j_1\in I_1, \ldots,j_n\in I_n } \subset H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$$ является гильбертовым базисом$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$. Следовательно$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$сепарабельно, если каждый$H_i$является отделимым.

Второй важный результат, очень используемый в КМ, в случае$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$куда$\mu_i$является$\sigma$-конечной (как и для стандартной меры Лебега над$\mathbb R^n$) звучит следующим образом.

Предложение . Предполагать$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$, куда$\mu_i$является$\sigma$- конечный. Затем карта

$$L^2(X_1, \mu_1)\otimes_H \cdots \otimes_H L^2(X_n, \mu_n) \ni \psi_1\otimes \cdots \otimes \psi_n \mapsto \psi_1 \cdots \psi_n \in L^2(X_1\times \cdots \times X_n, \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n)$$ однозначно непрерывно и линейно продолжается до изоморфизма гильбертова пространства.

Выше$\psi_1 \cdots \psi_n$является стандартным поточечным произведением

$$\psi_1 \cdots \psi_n(x_1,\ldots,x_n) := \psi_1(x_1) \cdots \psi_n(x_n)\:.$$

NB: в дальнейшем я обозначаю$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$гильбертово тензорное произведение без индекса$_H$, таким образом приняв стандартные обозначения в учебниках по квантовой механике.

Теперь я в состоянии строго ответить на этот вопрос. Сначала заметим, что топологическое двойственное пространство $H'$гильбертова пространства$H$, то есть подпространство$H' \subset H^*$из непрерывных линейных карт$f : H \to \mathbb C$является самостоятельным гильбертовым пространством.

Действительно, знаменитая теорема Рисса утверждает, что

Теорема . Если$H$является гильбертовым пространством со скалярным произведением$\langle \cdot | \cdot \rangle$, карта

$$H \ni \psi \mapsto \langle \psi | \cdot \rangle \in H'$$ является антилинейным и биективным. Таким образом, каждый элемент$f$топологического двойственного пространства$H'$представлен$\langle \psi_f | \cdot \rangle$с$\psi_f \in H$однозначно определяется$f$.

Очевидно$H'$пространство укорочения векторов «бюстгалтера»$\langle \psi | \cdot \rangle$к$\langle \psi|$.

Ясно, что с учетом сформулированного результата$H'$оказывается гильбертовым пространством, как только мы определяем скалярное произведение

$$\langle f | g \rangle' := \overline{\langle \psi_f | \psi_g\rangle}\:.$$

Эта особенность$H'$позволяет нам определить гильбертово тензорное произведение

$$H_1 \otimes H_2'$$ элементы представляют собой линейные комбинации (также бесконечные, если они сходятся в естественной топологии пространства) элементарных тензорных произведений $$\psi \otimes f = |\psi \rangle \otimes \langle \phi| = |\psi \rangle \langle \phi|$$ где я также использовал некоторые общепринятые обозначения, используемые в учебниках по физике.

Разница между$|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$(элемент$H_1 \otimes H_2$) а также$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$(элемент$H_1 \otimes H_2'$) теперь должно быть очевидно.

Также ясно, что$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$определяет непрерывный оператор$H_2 \to H_1$. Также бесконечные линейные комбинации этих операторов, предполагаемые сходящимися относительно натурального скалярного произведения на$H_1 \otimes H_2'$, определим непрерывные линейные операторы$H_2 \to H_2$. Эти операторы компактны (они преобразуют ограниченные множества в компакты) и удовлетворяют еще одному свойству, относящемуся к понятию следа , которое характеризует их как операторы Гильберта-Шмидта из$H_2$к$H_1$.

В качестве последнего замечания обратите внимание, что$I = \sum_k |\psi_k \rangle \langle \psi_k|$относится к базису Гильберта$\{\psi_k\}_{k\in K}$не принадлежит$H_1 \otimes H_2'$несмотря на обозначение, если$K$не конечен! Это связано с тем, что этот вектор не имеет конечной нормы в$H_1 \otimes H_2'$а сходимость ряда приходится интерпретировать, используя другую топологию, так называемую сильную операторную топологию .