Обозначение Дирака - след произведения (двудольных) матриц плотности

Что касается обозначений, вы можете использовать любой из

$$\begin{align} A\rho & = \sum_{ijk} p_k \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |\Big) \Big(| k \rangle \langle k | \otimes |k\rangle \langle k |\Big) \\ & = \sum_{ijk} p_k |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | \otimes |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | . \end{align}$$ Как вы хорошо заметили, здесь $⟨j|k⟩$давать $\delta_{jk}$, так что сумма более $k$уходит: $$\begin{align} A\rho & = \sum_{ij} p_j |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |. \end{align}$$ Остальные ваши формальные манипуляции тоже прекрасны:

$$\mathrm{Tr} \left(A\rho\right) = \sum_{ij} p_j \mathrm{Tr} \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | \Big) = \sum_{ij} p_j \delta_{ij} = 1.$$

Это выглядит несколько подозрительно, но разумно из-за особой структуры$A$и$\rho$. Это не противоречие, потому что нет ничего, что требовало бы, чтобы произведение матриц плотности было похоже на матрицу плотности: если$\rho$и$\sigma$не ездить,$\rho\sigma$не является даже эрмитовым, не говоря уже о положительно полуопределенном; если вам нужен пример матриц плотности, продукт которых имеет след$≠1$, пытаться$\sigma^2$для

$$\sigma=\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}.$$