Аналитические задачи с функцией Грина

Функция Грина есть не что иное, как (обычно распределительное) интегральное ядро ​​обратного к данному оператору. Дело в том, что оператор

$$A:= \left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r})\right]$$ не допускает единственного обратного. Наоборот, $$A_{\pm\eta}:=\left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r}) \pm i\eta\right]$$ допускает единственный обратный (при любом выборе знака) и задается оператором, интегральное ядро ​​которого равно $G_{\pm \eta}$. Оказывается, что $\lim_{\eta \to 0^+}G_{\pm \eta} f$существуют и эти пределы выделяют пару обратных операторов (среди класса обратных операторов) $A$, чей физический смысл актуален (опережающие и запаздывающие решения).

На практике вычисление вышеуказанных пределов можно выполнить в комплексной плоскости с помощью теории вычетов, предварительно записав$G_{\pm \eta}$в терминах разложения Фурье. В рамках этой картины появление нескольких инверсий$A$описывается в терминах различных способов окружить сингулярность на комплексной плоскости.

Задачи этого типа удобно решать с помощью комплексного преобразования Лапласа. Для функции$f(t)$с$t\geqslant 0$это определяется как

$$\begin{equation*} \hat{f}(z)=\int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]f(t),\;Imz>0. \end{equation*}$$ Параметр $z=\omega +i\eta$( $\eta >0$но произвольно в противном случае) мы имеем, с $\theta (t)$ступенчатая функция Хевисайда ( $\theta (t)=1$для $t\geqslant 0$и $0$в противном случае), $$\begin{equation*} \hat{f}(\omega +i\eta )=\int_{-\infty }^{+\infty }dt\exp [i\omega t]\theta (t)\exp [-\eta t]f(t). \end{equation*}$$ Таким образом $\hat{f}(\omega +i\eta )$является преобразованием Фурье $\theta (t)\exp [-\eta t]f(t)$и поэтому $$\begin{eqnarray*} \theta (t)\exp [-\eta t]f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i\omega t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i(\omega +i\eta )t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ &=&\frac{1}{2\pi }\int_{\Gamma }dz\exp [-izt]\hat{f}(z),\;t\geqslant 0, \end{eqnarray*}$$ где $\Gamma$это линия $(-\infty +i\eta ,+\infty +i\eta )$.

Теперь проблема под рукой. Параметр$\hslash =1$мы имеем дело с уравнением Шредингера

$$\begin{equation*} \partial _{t}\psi (t)=-iH\psi (t). \end{equation*}$$ Поскольку путем частичного интегрирования (примечание $Imz>0)$, $$\begin{equation*} \int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]\partial _{t}\psi (t)=-\psi (0)-iz\hat{\psi} (z), \end{equation*}$$ получаем после некоторой перестановки $$\begin{eqnarray*} i[z-H]\hat{\psi}(z) &=&\psi (0), \\ \hat{\psi}(z) &=&-i[z-H]^{-1}\psi (0), \\ \psi (t) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-izt][z-H]^{-1}\psi (0)=\exp [-iHt]\psi (0),\;t\geqslant 0 \end{eqnarray*}$$ Объект $[z-H]^{-1}$известна как резольвента $H$и играет ключевую роль в математических исследованиях. Функция Грина является соответствующим ядром в координатном представлении $$\begin{equation*} \hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z)=\langle \mathbf{x}_{1}|[z-H]^{-1}|% \mathbf{x}_{2}\rangle \end{equation*}$$ и $$\begin{eqnarray*} G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2}) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-iz(t_{1}-t_{2})]\hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z), \\ \psi (\mathbf{x}_{1},t_{1}) &=&\int d\mathbf{x}_{2}dt_{2}G(\mathbf{x}_{1},% \mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})\psi (\mathbf{x}_{2},t_{2}),\;t_{1}\geqslant t_{2}. \end{eqnarray*}$$ Формально $G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})$удовлетворяет уравнению в вопросе, но теперь у нас есть точное описание $z$- интеграл.