Математически, что такое ядро ​​интеграла по путям?

Ядро интеграла по путям для преобразования волновой функции (уравнение 3.42 в Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, исправленное издание):

ψ ( Икс б , т б ) "=" ∫ − ∞ ∞ К ( Икс б , т б ; Икс с , т с ) ψ ( Икс с , т с ) г Икс с

выглядит эквивалентно ядру для преобразования интеграла :

( Т ф ) ( ты ) "=" ∫ т 1 т 2 К ( т , ты ) ф ( т ) г т

Однако в таблице преобразований нет никакого «преобразования Фейнмана». Что именно в математике?

@Qmechanic, зачем вам нужно добавить вопрос в начало?
Основная часть вопроса должна быть понята сама по себе, не видя заголовка или тегов. Например, программа для чтения RSS может отображать только текст вопроса, а не заголовок.
@DavidZ: не так ли? Все мои подписки на RSS показывают заголовок и часть тела.
Ваш RSS-ридер показывает заголовок; это не означает, что каждый читатель RSS делает. В любом случае, я предложил этот гипотетический пример только для того, чтобы обосновать правило, но правило стоит само по себе: основная часть вопроса должна быть понята без заголовка или тегов. На самом деле не имеет значения, может ли кто-либо из нас назвать программу для чтения RSS, которая не показывает заголовок.

Ответы (1)

Для данной квантовой системы ядро ​​интеграла по траекториям фактически является ядром интегрального преобразования, как вы явно записали. Это преобразование управляет эволюцией системы во времени, что проявляется в вашем первом уравнении. По этой причине его часто называют распространителем данной системы.

Например, для одиночной нерелятивистской частицы, движущейся по некоторому участку реальной линии с постоянным гамильтонианом (и, следовательно, унитарной эволюцией), ядро ​​и оператор унитарной эволюции во времени связаны следующим образом:

К ( Икс , т ; Икс ′ , т ′ ) "=" ⟨ Икс | U ( т , т ′ ) | Икс ′ ⟩ .
Ядра для разных квантовых систем, как правило, будут разными, потому что эти системы имеют разные гамильтонианы и, следовательно, разное поведение во время эволюции. Сравните это, например, с преобразованиями Фурье и Лапласа, ядра которых всегда одинаковы (конечно, с учетом надоедливых соглашений).

Например, ядро ​​для свободной массивной нерелятивистской частицы, движущейся по реальной линии, равно

К ( Икс б т б ; Икс а , т а ) "=" [ 2 π я ℏ ( т б − т а ) м ] − 1 / 2 опыт ⁡ я м ( Икс б − Икс а ) 2 2 ℏ ( т б − т а )
и вы можете найти ядра ряда других систем (например, гармонического осциллятора).

Главное. Как вы выразились, для каждой квантовой системы существует свое «преобразование Фейнмана». Вот почему вы не найдете ни одного в таблице математических преобразований под таким названием. Однако возникает еще один интересный вопрос: есть ли где-нибудь таблица известных ядер для различных квантовых систем? Мне самому было бы интересно узнать!

Подробнее о конкретных ядрах и некоторых обобщениях здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Propagator .

Большое спасибо. Кажется, что мы не используем ядра в релятивистских системах.
@Ooker Конечно. Хм, вы смотрели в вики раздел о пропагаторах, посвященный их отношению к релятивистской КТП? Я бы не совсем согласился с тем, что мы не используем ядра в этом контексте, например, за исключением того, что их использование и интерпретация немного отличаются.
Да, у меня есть. Говорю так, потому что не вижу ядра K, а вижу только пропагатор G. Конечно, можно сказать, что из G можно получить K, но такого случая я еще не встречал (книгу Фейнмана еще не дочитал) .
Кроме того, я добавил эту информацию на вики-страницу интегрального преобразования .
Математически, что такое ядро ​​интеграла по путям?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v