Как вычислить чистые расширения данного смешанного состояния?

1. Тот факт, что каждое смешанное состояние$\rho$действующие в конечномерных гильбертовых пространствах, можно рассматривать как редуцированное состояние некоторого чистого состояния$|\psi\rangle$в большем гильбертовом пространстве называется очисткой, см. эту страницу Википедии , где также приведен алгоритм.

2. В случае ОП

   $$\rho~\in~\mathcal{B}(\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n),$$ можно выбрать чистое состояние$|\psi\rangle$в следующем гильбертовом пространстве $$|\psi\rangle~\in~\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n.$$

Общий результат состоит в том, что любое смешанное квантовое состояние можно рассматривать как редуцированное состояние чистого состояния в гильбертовом пространстве большей размерности. Это называется очищением , а некоторые люди даже называют силу этой идеи «Церковью Большого Гильбертова Пространства».

Существует канонический способ построения очистки, который имеет то преимущество, что сразу показывает, какой должна быть минимальная размерность большего гильбертова пространства. Итак, вот как вы строите очистку: Пусть$\rho$быть состоянием в гильбертовом пространстве размерности$d$с собственными векторами$\{|\phi_i\rangle\}_{i=1}^d$. Затем

$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^d|i\rangle\otimes|\phi_i\rangle$

является очищением$\rho$, где$\{|i\rangle\}$является ортонормированным набором векторов.

Отсюда видно, что всегда можно построить очищение и, кроме того, расширенное гильбертово пространство вообще должно иметь размерность не менее чем в два раза большую, чем исходное.

Вы правильно говорите, что такое состояние не будет уникальным. В самом деле, например, выберите статистическую смесь 50%-50% двух случайных чистых базисных состояний в${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$. Каждое из этих двух состояний может быть запутано с одним из двух ортогональных состояний в третьем${\mathbb C}^n$; однако, что представляют собой эти два состояния в третьем факторном гильбертовом пространстве, совершенно не определено.

Таким образом, даже если бы у вас был конструктивный метод нахождения чистого состояния в трехчастном гильбертовом пространстве, он не дал бы уникальных результатов.

Однако с вашим предложением связана другая, гораздо более серьезная проблема: почти во всех случаях оно вообще не имеет решений. В самом деле, этот факт легко продемонстрировать простым подсчетом степеней свободы. Чистые состояния в${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$указаны$n^2$различные комплексные числа (одно из них, общая комплексная нормализация, нефизична).

Точно так же общая матрица плотности на этом пространстве представляет собой$n^2\times n^2$Эрмитова матрица, поэтому она содержит$n^4$независимые реальные параметры (один из них — трасса, которую, вероятно, следует установить в единицу). Однако это больше, чем$2n^3$число реальных параметров, поступающих из$n^3$комплексные параметры волновой функции в${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n\otimes{\mathbb C}^n.$По крайней мере, для$n\gt 2$, он больше. Таким образом, вплоть до подмножества случаев с нулевой мерой вы не сможете найти никакого чистого состояния, которое сводится к заданному смешанному состоянию. Разнообразие требуемых результатов (матриц плотности) намного больше, чем разнообразие ингредиентов (чистых трехблочных состояний), которые вы можете использовать для получения желаемого результата.

Конечно, если бы у вас была матрица плотности только для одного из трех блоков, а не для двух, вы бы смогли ее решить. По крайней мере, подсчет параметров не сделает невозможным существование решения для общей матрицы плотности.

Учитывая произвольное состояние$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n)$собственное разложение которого имеет вид

Из этого мы можем сделать несколько выводов:

1. Общее состояние$\rho$может иметь ранг до$n$, поэтому минимальная размерность пространства очистки, необходимая для очистки произвольных состояний, равна$m=n$.
2. Двудольная структура в состоянии, используемом в OP, не важна в этом обсуждении. Если$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n\otimes\mathbb C^n)$, это просто означает, что размерность пространства$n^2$, а все остальное следует, как показано в общем случае, когда мы не ссылаемся на раздельную структуру состояний.
3. уравнение (B) делает очень ясным, какие возможные очистки$\rho$суть: свобода вся и только в выборе ортонормированного набора$\mathrm{rank}(\rho)$векторы из некоторого произвольного вспомогательного пространства (с той лишь оговоркой, что это пространство должно быть достаточно большим, чтобы вместить это количество ортогональных элементов).

В качестве последнего замечания отметим, что то, что в данном контексте называется очисткой , с математической точки зрения эквивалентно характеристике положительных операторов.$B$как те операторы, что$B=A A^\dagger$для некоторых$A$. То есть проблема очистки данного состояния$\rho$сродни поиску$A$такой, что$A^\dagger A=B$для некоторых данных$B\ge0$. Чтобы увидеть это, нам просто нужно понять, что операция частичной трассировки на проекторе ранга 1,$\operatorname{Tr}_2(v v^*)$, эквивалентно формулируется как матричное умножение операторов, имеющих$v,v^*$как векторизация. Точнее, под этим я подразумеваю, что для любой (возможно, прямоугольной) матрицы$A$,