Как выглядит магнитное поле (квантово-механического) электрона?

Магнитный момент электрона — это магнитный момент, поэтому правильное магнитное поле вокруг него равно

$$\mathbf{B}({\mathbf{r}})=\nabla\times{\mathbf{A}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\mathbf{\mu}}}{r^{3}}\right).$$ Мир является квантово-механическим, как и любое жизнеспособное описание спина, поэтому мы должны уважать постулаты квантовой механики. В частности, указанное выше магнитное поле соответствует «состоянию» (например, спин вверх и вниз), и можно построить сложные линейные суперпозиции таких состояний. Важно понимать, что квантово-механическая суперпозиция состояний в гильбертовом пространстве никоим образом не означает, что соответствующие магнитные поля складываются в соответствии с классическим принципом суперпозиции электромагнитных полей.

Действительно, это линейные суперпозиции состояний, которые содержат разные профили магнитного поля.

Магнитное поле вокруг электрона настолько слабое, что его никоим образом нельзя рассматривать как классическое магнитное поле в том смысле, что классические поля «большие». Но классическая формула для магнитного поля по-прежнему верна! Эта формула определяет магнитный момент. Однако квантовые эффекты всегда важны. Кроме того, если вы попытаетесь измерить это очень слабое магнитное поле, оно неизбежно повлияет на состояние измеряемой системы, в том числе на спин самого электрона.

Конечно, совершенно неправильно думать, что мы можем измерить такое слабое магнитное поле с помощью большого макроскопического прибора, такого как магнит на холодильник. Конечно, влияние магнитного поля одного электрона на такой большой объект было бы почти нулевым. На самом деле квантовая механика гарантирует квантование многих «явлений», поэтому вместо того, чтобы предсказывать очень маленькое воздействие на магнит на холодильник, она предсказывает конечное воздействие на магнит на холодильник, которое происходит с крошечной вероятностью.

Вы можете «измерить» магнитное поле электрона, создав связанное состояние с другим магнитом в виде элементарной частицы. Например, электрон и протон в атоме водорода действуют так же, как и в обычных «классических» формулах, но важно понимать, что все величины в уравнениях являются операторами со шляпами.

Позвольте мне показать вам пример простой проверки непротиворечивости, подразумевающей отсутствие противоречий. Рассчитать математическое ожидание магнитного поля (оператор)$\vec B(\vec r)$в какой-то момент для государства$c_{up}|up\rangle + c_{down} |down\rangle$. Вектор-столбец амплитуд$c$нормализуется. Проверка состоит в том, что вы получаете то же самое значение ожидания$\vec B(\vec r)$для каждого$\vec r$если вы сначала вычисляете его для компонента «вверх» и компонента «вниз» отдельно, а затем добавляете условия, или если вы сначала понимаете, что это состояние вращения «вверх» по отношению к новой оси$\vec n$, и вычислить$\vec B$От этого.

Это хорошее упражнение. Дело в том, что ожидаемая стоимость$\vec B(\vec r)$является билинейным выражением в бра-векторе и кет-векторе$|\psi\rangle$, очень похоже на направление$\vec n$. И действительно,$\vec B$является линейным в направлении$\vec n$, по формуле выше, так что все сойдется. Фактически, вы можете вставить в ожидаемое значение что угодно, так что проверка работает для всех линейных выражений в$\vec B$. Высшие силы$\vec B$также имеют ожидаемые значения, но они будут вести себя иначе, чем в классической физике, потому что будут дополнительные вклады от «принципа неопределенности», аналогичного энергиям нулевой точки гармонического осциллятора в квантовой механике.

Чрезвычайно важно понимать, что поле$\vec B(\vec r)$также является оператором, поэтому он имеет ненулевые недиагональные матричные элементы по отношению к спиновым состояниям электрона «вверх» и «вниз». На самом деле, если вы просто напишете$\vec \mu$в формуле для магнитного поля, с которой я начал как кратное матрице Паули (спин электрона), вы точно увидите, как «ключевой» член в магнитном поле ведет себя по отношению к состояниям со спином вверх и вниз. Недиагональные элементы не влияют на ожидаемое значение в верхнем или нижнем состоянии, но они влияют на «смешанные матричные элементы между верхним и нижним значениями, а те влияют на математические ожидания в спиновых состояниях, поляризованных вдоль невертикальных осей. .

Кстати, я добавил здесь полупопулярную версию своего ответа в блоге.

http://motls.blogspot.com/2014/07/does-electrons-magnetic-field-look-like.html?m=1