Нерелятивистский предел комплексного скалярного поля

На странице 42 лекций Дэвида Тонга по квантовой теории поля он говорит, что можно также вывести лагранжиан Шредингера, взяв нерелятивистский предел (комплексного?) скалярного лагранжиана поля. И для этого он использует условие ∂ т Ψ ≪ м Ψ , что на самом деле я полагаю, что он имеет в виду | ∂ т Ψ ~ | ≪ | м Ψ ~ | , иначе я не понимаю. В любом случае, начиная с лагранжиана:

л "=" ∂ мю ψ ~ ∂ мю ψ ~ * − м 2 ψ ~ ψ ~ *

Используя неравенство, я думаю, что это правильно, я могу только получить:

л "=" − ∇ ψ ~ ∇ ψ ~ * − м 2 ψ ~ ψ ~ *

И из этого я пытался связать ψ ~ или ψ (поскольку мы можем записать приведенный выше лагранжиан с обоими, поскольку он инвариантен при умножении на чистую фазу), чтобы ψ ˙

Для связи между Schr. экв. и уравнение Клейна-Гордона, см., например, A. Zee, QFT in a Nutshell, Chap. III.5 и этот пост Phys.SE плюс ссылки в нем.
Обратите внимание, что уравнение Клейна-Гордона является ковариантным по Пуанкаре, а уравнение Шрёдингера — нет. Это означает, что второе не может быть прямым следствием первого.

Ответы (1)

Вы не можете вывести его «напрямую» из уравнения Клейна-Гордона или из лагранжиана Клейна-Гордона.

Начиная с уравнения Клейна-Гордона для ψ , и определение ψ ( Икс → , т ) "=" е − я м т ψ ~ ( Икс → , т ) ( 2.103 ), вы получите новое уравнение для ψ ~ , которое не является уравнением Клейна-Гордона:

(2.104) ψ ~ ¨ − 2 я м ψ ~ ˙ − ∇ 2 ψ ~ "=" 0

По преобразованию Фурье это эквивалентно условию:

(1) ( Е ′ 2 + 2 м Е ′ − п → 2 ) "=" 0

Что это значит?

Начнем с уравнения Клейна-Гордона для ψ , что по преобразованию Фурье эквивалентно условию

(2) ( Е 2 − п → 2 − м 2 ) "=" 0

Теперь о преобразовании ψ ( Икс → , т ) "=" е − я м т ψ ~ ( Икс → , т ) ( 2.103 ) , дает связь между Е ′ и Е , Это Е ′ "=" Е − м , это сдвиг в определении энергии.

Итак, из ( 2 ) , имеем просто: ( ( Е ′ + м ) 2 − п → 2 − м 2 ) "=" 0 , это просто условие ( 1 )

Теперь, если мы предположим | п → | ≪ м , это означает | Е − м | ≪ м (с Е ∼ м ) , то есть Е ′ ≪ м , так Е ′ 2 ≪ м Е ′ .

Возвращаясь к уравнению ( 2.104 ) , которое не является уравнением Клейна-Гордона, мы видим с помощью преобразования Фурье, что мы можем пренебречь первым членом относительно второго члена, и, наконец, вы получаете:

(2.105) я ψ ~ ˙ "=" − 1 2 м ∇ 2 ψ ~ "=" 0

Насчет лагранжианов у вас, я думаю, возникнут проблемы, если вы захотите определить лагранжиан, дающий ( 2.104 ) , только с вещественным скалярным полем ψ ~ , из-за ψ ~ ˙ срок.

Итак, вы должны рассмотреть сложное скалярное поле, и в лагранжиане у вас будут такие члены, как ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ ˙ и я м ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , я м ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ , причем первый член в рассмотренном нами приближении пренебрежимо мал по сравнению с остальными членами.

Но как получить эти последние два термина м ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , м ψ ~ ψ ~ ¯ ˙ ? Кроме того, это не совсем то, чего вы хотите, не так ли? Вы хотите я ψ ~ ¯ ψ ~ ˙
Да, это термины я м ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , я м ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ (я пропустил я )
Это просто модификация лагранжиана 1,15 , где мы умножаем на м первые 2 члена, мы пропускаем последний член и добавляем член квадратичной производной по времени.
Я думаю, что я сделал это сейчас. Моя проблема заключалась в том, что «поскольку мы можем написать приведенный выше лагранжиан с обоими, поскольку он инвариантен при умножении на чистую фазу», что это правда, но чистая фаза не может зависеть от x, и е − м т делает. Поэтому, когда я правильно подставил это в лагранжиан комплексного скалярного поля КГ, я действительно получил термины, которые вы говорите, и после применения неотн. условии я получаю лагранжиан 1.15 с модификациями, которые вы говорите (и с 1 2 перед градиентами); и это дает правильное уравнение Шредингера. Спасибо!
@ user29621: Хорошо, хорошо.
Нерелятивистский предел комплексного скалярного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v