Как я могу интуитивно понять фактор Больцмана?

Что наиболее интуитивно для меня, так это смотреть на то, что мы просим. Какова вероятность того, что мы найдем систему в состоянии с полной энергией$\hat{E}$? Это просто доля всех возможных состояний, которые имеют полную энергию$\hat{E}$, т.е.

$$p(E) \equiv \frac{\int \delta\left(E(\Omega)- \hat{E}\right)d\Omega}{\int d\Omega}\sim N_\hat{E}$$

Но$N_\hat{E}$просто

$$e^{\ln N_\hat{E}}\equiv e^{S_S(\hat{E})/k_B}$$ куда $e^{S_S(\hat{E})}$это количество состояний, в которых наша система имеет полную энергию $\hat{E}$, что совпадает с количеством состояний, в которых остальная часть Вселенной упала до энергии $E_{tot}-\hat{E}$Давая $\hat{E}$нашей системе, т.е. $S_S(\hat{E}) = S_U(E-\hat{E}) \approx S_U(E) - \hat{E}\frac{\partial S_U(E)}{\partial E}$.

Чтобы свести это воедино, я проделал бы обычную демонстрацию того, что в равновесии должно быть так, что в простой системе, которая обменивается теплом$\frac{\partial S}{\partial E}$должно быть одинаковым во всех зонах системы.

Кроме того, если одна зона системы имеет меньшее значение этого показателя, чем другие, система будет иметь тенденцию приносить больше энергии в эту зону.

Следовательно$1/\frac{\partial S}{\partial E}$естественно отождествляется с нашим понятием температуры, т.е.$1/\frac{\partial S}{\partial E} \equiv T$.

Тогда мы явно имеем

$$p(\hat{E})\sim N_\hat{E} \equiv e^{S_S(\hat{E})/k_B} \propto e^{-\hat{E}/k_BT}$$ Это всегда дает мне понять, что мы просто берем части всего набора микросостояний и спрашиваем, насколько он велик по сравнению с набором всех микросостояний.

Кроме того, выделение подтомов с помощью$\delta$-функция естественным образом обобщается на все остальные сценарии, которые обычно классифицируются как разные ансамбли. Здесь это просто другое отношение ограничений внутри$\delta$-сборщик.

Если есть еще что-то, что мы хотим ограничить, может быть, количество частиц, то$\delta$устанавливает коэффициент$\frac{\partial{S}}{\partial N}$наверху вместе с$\frac{\partial{S}}{\partial E}$.

Это представление было для меня наиболее полезным, поскольку оно объединяет все описания и ясно показывает, что на самом деле делается.

Ok. Положим таким образом:

1. Мы знаем среднюю энергию:$\langle E\rangle=\sum P_k E_k$
2. $P_K$представляет собой распределение вероятностей:$\sum P_k=1$
3. Мы больше ничего не знаем о системе.

Вопрос в том, какое распределение вероятностей$P_k$беспристрастно зафиксировать предыдущие утверждения? Ответ таков: распределение, максимизирующее энтропию Шеннона.

$$H(P_1...P_k)=-k_b\sum P_kln(P_k)$$ и соблюдать ограничения (1) и (2) .

Для этого воспользуемся множителями Лагранжа . Множитель, соответствующий ограничению (1) , есть температура. Ограничение (2) дало нам статистическую сумму.

Постоянная Больцмана имеет задачу связать энтропию с температурой. Мы используем базис Эйлера для логарифмов и экспонент. Если мы изменим это, нам нужно изменить постоянную Больцмана.

Здесь температура проявляется как средний налог на энергию, связанный с изменением энтропии. Если максимум$H(P_1...P_k)$для некоторых$\langle E \rangle$является$S$, тогда

$$d \langle E\rangle=TdS$$

Обратите внимание, что мы можем сделать энтропию безразмерной величиной и использовать постоянную Больцмана в качестве преобразователя кельвинов в джоули.

Как мы можем интерпретировать результат?

У нас есть вероятность$P(E)=e^{-E/kT}$. Это означает, что

$$\frac{k_bT}{P(E)}\frac{dP(E)}{dE}= -1$$ .

Это уравнение говорит нам, что для каждой температуры у нас есть фиксированная шкала энергии. Мы можем увидеть это, выполнив$k_bT=1$. В шкале, определяемой температурой, мы видим, что вероятность энергии$E$иметь максимум в$E=0$(Эта нулевая энергия определяется нормировкой, т.е. статистической суммой системы). Мы можем думать, что эта экспонента представляет собой тепловую флуктуацию энергии в некоторой нулевой энергии, определяемой системой.

При получении результата (будь то физический или математический) может быть полезно сначала выяснить пределы результата. Тогда, если ваше предполагаемое объяснение «объясняет» результат в областях, где он не выполняется, вы знаете, что ваше объяснение ошибочно.

Итак, фактор Больцмана для канонического ансамбля. Мы должны предположить, что число частиц не меняется, и мы должны предположить, что объем не меняется. Наличие обоих из них на самом деле довольно ограничительно. Например, у вас может быть газ водорода, но для сохранения количества частиц они должны быть достаточно холодными, чтобы избежать любой возможности синтеза (даже в результате туннелирования, что происходит на Солнце, поскольку даже на Солнце холодно по сравнению с слияние классически достижимо только из КЭ, преодолевающего ПЭ). Но чтобы сохранить объем, у вас должно быть место для всего вашего водорода, а это значит, что все они должны находиться вблизи основного состояния, потому что ридберговские атомы (сильно возбужденный, но не совсем ионизированный водород) могут стать очень-очень большими, если главное квантовое число безумно большой. Если ты хочешь, чтобы это никогда не случалось, d должно иметь так мало доступной энергии, что даже если бы у каждого атома была низкая кинетическая энергия, не осталось бы достаточно энергии, чтобы использовать внутреннюю энергию в водороде для ионизации даже одного единственного водорода. Так что технически мы ожидаем, что Больцман будет верен только для очень-очень холодного водорода.

Итак, глядя на$TdS=dU+PdV-\mu dN$, мы видим, что в этих ситуациях$dV=0$потому что без изменения объема и$dN=0$потому что количество частиц не меняется, поэтому$dS=dU/T$, сейчас мы на большей части пути туда.

Итак, поскольку мы не ожидаем, что он будет работать точно, реальный вопрос заключается в том, почему он вообще работает хорошо. Должно быть, последствия нарушений малы, преходящи, или их суммарные эффекты отменяются. Так, например, если атомы водорода лишь немного перекрываются (в пространстве и времени), мы могли бы игнорировать это. Если существует равновесное количество свободных электронов, ионизированного водорода и нейтрального водорода, то мы могли бы игнорировать некоторые из них, если эффекты малы. Если у нас есть популяция водорода в разных состояниях, и хотя некоторые из них в среднем велики, в среднем достаточно места, мы можем это получить.

Один из способов увидеть это физически — представить целую кучу примерно одинаковых областей, в каждой из которых есть некоторое количество газа, достаточное для того, чтобы во многих областях, вместе взятых, было очень большое количество атомов водорода. Затем мы можем попытаться найти равновесие для того, сколько электронов, ионов и водорода в среднем велико. Затем мы можем попытаться взять эти типичные значения и посмотреть, насколько реально игнорировать определенные способности.

В конце концов, без изменения числа частиц, без изменения объема и связи между энтропией и вероятностью можно получить фактор Больцмана. Поэтому, если вы хотите увидеть это физически, сосредоточьтесь на соотношении между энтропией и внутренней энергией при отсутствии изменения объема или числа частиц.

Я нахожу это самым простым аргументом. Он явно не включает энтропию.

• кратность двух систем есть произведение их кратностей
• в термодинамическом равновесии множественность максимальна
• дробное изменение кратности с внутренними энергиями ($\beta = \frac{1}{\Omega} \frac{d\Omega}{dE}$) одинаково для обеих систем.
• идентифицировать$\beta = 1/kT$

Пока это стандарт. Я подозреваю, что то, что следует далее, слишком сомнительно, потому что я не видел его больше нигде.

• рассмотрим маленькую систему с невырожденными энергетическими уровнями, обменивающуюся энергией с большим резервуаром
• запишите приведенное выше выражение в виде дифференциального уравнения для$\Omega(E)$и скорректируйте знак энергии малой системы:$\frac{d\Omega}{dE} = -\beta \Omega$
• решение кратности комбинированной системы в терминах большой системы$\beta$и энергия малой системы$E$:$\Omega \propto e^{-\beta E}$

Я вижу проблемы с этим выводом, но я не понимаю, почему он был бы намного хуже, чем многие другие аргументы в статистической физике.

Численный пример: системы, не слишком далекие от равновесия с нашей средой, имеют$\beta$около 4 % на мэВ. Это значение можно вычислить по барометрической формуле. Теперь рассмотрим гармонический осциллятор с$\hbar \omega = 1$мэВ с резервуаром на$\beta = 0.04$/мэВ. Итак, для$n$В возбужденном состоянии кратность резервуара уменьшится в$0.96^n$, отрицательная экспонента, которая дает вероятность фактора Больцмана.