Каков вывод экспоненциального соотношения энергии и где он применяется?

Очень часто, когда люди указывают время релаксации т родственник , т гнильца , и т. д. они думают о контексте, в котором релаксация энергии происходит как ∝ е − т / т . Связанный подход к его вычислению через

т "=" Е ( 0 ) / ( д Е д т ) Е "=" 0 .

Оба оправданы рассмотрением динамики, для которой

д Е д т "=" − 1 т ( Е − Е ( 0 ) ) .

Мой вопрос таков: что принципиально приводит к этому отношению?

Я предполагаю, что это связано с основным уравнением, которое отражает форму " Икс ˙ "=" А Икс + б ". Но я не уверен, как степени свободы в уравнении Мастера переводятся в зависимость от времени макроскопического значения энергии. Также будет вывод из уравнения Больцмана каким-то образом, для некоторых условий, но каков общий аргумент а где работает?

Относительно уравнения Больцмана: приближение времени релаксации к члену столкновения Больцмана называется приближением БГК , которое широко используется. Но я не уверен, каковы именно его условия действительности. Исходя из уравнения БГК, легко получить уравнение энергии с предположением, что внешние силы исчезают (в противном случае в правой части будет член подводимой мощности).

Ответы (2)

Этот вид экспоненциального убывания к «равновесию» можно получить, если взглянуть на марковский процесс. В этом случае, если мы позвоним С т состояние системы в момент т и С т + 1 состояние в то время т + 1 , для эволюции имеем:

С т + 1 "=" Т С т

где Т называется матрицей переходов. Это означает, что С т "=" Т т С 0 . Затем идея состоит в том, чтобы ввести множество собственных состояний Е я такой, что Т Е я "=" λ я Е я . Набор { Е я } я "=" 1... представляет собой математический набор векторов, и они не всегда должны соответствовать вероятностному состоянию. На самом деле, поскольку решение единственно для любого заданного С 0 это означает, что может быть только одно вероятностное состояние такое, что Т Е п "=" Е п т.е. такой, что λ п "=" 1 . Теперь, начиная с любого состояния С 0 "=" ∑ я С я 0 Е я , тогда С т "=" ∑ я С я 0 λ я т Е я "=" С е д + ∑ я ≠ п С я 0 λ я т Е я . Т является положительно определенной матрицей, и в спектральной теории можно показать, что λ п "=" 1 является самым высоким собственным значением, поэтому это означает, что все остальные собственные значения меньше, чем 1 . Давайте позвоним λ 2 второе по величине собственное значение Т , тогда имеем:

С т − С е д ≈ С 2 0 λ 2 т ≈ С 2 0 е т п ⁡ λ 2 ∼ е − т / т 2

где т 2 "=" − 1 / п ⁡ λ 2 .

В конце концов, идея состоит в том, что начальное состояние можно спроецировать на собственные состояния, среди которых только одно является физическим и имеет наибольшее собственное значение, равное 1, это соответствует состоянию равновесия.

Основное предположение здесь состоит в том, что динамика является марковской.

Мне нравится твой вывод. И все же, где обоснование С т + 1 "=" Т С для нашей физической системы? С ′ ∝ С конечно пробирается в экспоненциальном поведении.
Моделирование динамики системы цепью Маркова в большинстве случаев является предположением для коллективных переменных. Однако в большинстве случаев также можно найти микропеременные, подчиняющиеся марковской динамике. Теорема Лиувилля соответствует марковской динамике. Когда вы смотрите на более медленные коллективные переменные, эта микроскопическая марковская динамика генерирует ядро ​​памяти для медленной переменной, которое в течение достаточно долгого времени возвращает марковское поведение, если существует адиабатическое разделение временных масштабов.
Что такое ядро ​​памяти? Является ли функция, производящая динамику, которая по сравнению с эволюцией марковских переменных не просто постоянна?
Общее определение в дискретном времени того, что означает ядро ​​​​памяти, таково: С т "=" ф ( С т − 1 , С т − 2 , . . , С т − м ) где м это размер памяти.

Эта форма д Е / д т действителен только тогда, когда система не слишком далека от равновесия и справедливо предположение о линейной реакции. Дело в том, что д Е / д т зависит от разницы Е − Е ( 0 ) само по себе является следствием предположения о линейной реакции.

Каков вывод экспоненциального соотношения энергии и где он применяется?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v