Исходная информация: В книге Альтланда и Саймонса «Теория поля конденсированного состояния» в упражнении 4.5.7 предполагается использовать метод эффективной теории поля для интегрирования фононного поля во взаимодействующую электрон-фононную систему и поиска притягивающего электрон-фонона. взаимодействие электронов.
Найдена форма эффективного действия
Теперь Альтланд и Саймонс пишут, что когда взаимодействие привлекательно. Однако я не уверен, как сделать этот вывод, поскольку действие имеет форму импульсного пространства, то есть мы имеем его преобразование Фурье. Я не могу придумать очевидную интуитивную причину, по которой должна существовать связь между знаком функции и знаком ее преобразования Фурье. Может быть, он есть, и я его не вижу, или здесь работает более сложный принцип?
Я нашел в Google что-то под названием теорема Бохнера, которая дает условие для функции быть преобразованием Фурье положительной функции. Но я не могу припомнить, чтобы эта теорема упоминалась в учебнике по физике.
Действительно, нет никакой связи между знаком потенциала и знаком его преобразования Фурье. Но почему мы должны заботиться об этом?
В теории поля критерий очень прост: взаимодействие является притягивающим, если его коэффициент (в гамильтониане) отрицателен, и отталкивающим, если его коэффициент положителен. В соответствии с этим критерием вывод Альтланда и Саймонса является прямым.
Я думаю, ваше замешательство может возникнуть из-за картины классической механики, в которой притягивающее взаимодействие — это потенциал, который растет с расстоянием между частицами, так что силы между частицами направлены друг на друга притягивающе. Но здесь, в частотно-импульсном пространстве, мы не видим ни понятия «межчастичное расстояние», ни признака «роста» потенциальной энергии. Мы даже не знаем, что такое «сила» между частицами, так как же мы можем судить, является ли взаимодействие притягивающим или нет? Поскольку понятие «сила» было отброшено в теории поля, привлекательность определяется по-другому в контексте теории поля. Вместо силы нашим критерием становится энергия. Если энергия взаимодействия уменьшается пропорционально квадрату плотности частиц, тогда мы знаем, что взаимодействие должно быть притягивающим, чтобы частицы могли получать энергию, собираясь вместе. Тогда из выражения является квадратом плотности, поэтому, просто взглянув на знак коэффициента перед ним, мы можем сказать, является ли взаимодействие привлекательным или нет.
Во-первых: уверены ли мы, что числитель равен q^2? Я считаю, что гамильтониан БКШ дает q/(q^2-omega^2). В противном случае он не будет равен нулю при q-> бесконечности. Я предполагаю, что.
Я думал о той же самой проблеме некоторое время. Мой текущий вывод таков: это выражение в q-пространстве (пространстве относительного импульса) монотонно убывает по абсолютной величине, так что его преобразование Фурье (взаимодействие в реальном пространстве) также «локализовано» (это работает, только если вы «размазываете» что бесконечность при омега=q с малой мнимой частью).
Тогда, если он локализован и отрицателен, это означает, что он монотонно растет с увеличением x, где x — относительная координата. С другой стороны, если он положительный, то он уменьшается.
Имеет смысл?
PS: запись в частотно-импульсном пространстве не должна быть проблемой для интерпретации концепции привлекательного и отталкивающего. Это просто выбор математического представления, и он не влияет на то, как проявляются силы. Правильный способ интерпретировать это — не переходить к классической физике, а анализировать относительное движение волновых пакетов — я научился различать эти два явления, размышляя об экситонах в кристалле и о разнице между экситонами Френкеля и Ванье.
Не думаю, что это настоящее космическое заявление. Точное утверждение таково: когда у вас есть пара частица-дырка с импульсом и другая пара частица-дырка с противоположным импульсом (обратитесь к определению , вы увидите, что он представляет собой пару частица-дырка), когда обменный фонон имеет частоту, меньшую, чем этот импульс, эффективное взаимодействие между этими двумя парами частица-дырка является привлекательным, потому что гамильтониан появляется в действии (воображаемого времени) точно так же, как себя, и теперь он отрицательный.
Интуитивно электрон движется мимо иона и локально поляризует решетку, но возбуждение решетки, которое является фононным, колеблется так медленно, что он видит второй электрон, проходящий мимо после того, как первый электрон уходит, и потому что взаимодействие между электроном и ионом притягивается, второй электрон эффективно ощущает притяжение первого.
Шива
Робин Экман