Краевая теория FQHE - Невозможно получить функцию Грина из антикоммутационных соотношений и уравнения движения?

Я изучаю краевую теорию дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) и наткнулся на своеобразное противоречие, касающееся процедуры бозонизации, которое я не могу разрешить. Помощь!

В частности, рассмотрим первые несколько страниц статьи XG Wen "Theory of edgestates in the дробные квантовые эффекты Холла" . Здесь Вен определяет фермионное поле Ψ ( Икс , т ) в (1+1) измерениях с точки зрения бозонного поля ф ( Икс , т ) в качестве

Ψ ( Икс , т ) ∝ е я 1 ν ф ( Икс , т ) .

Число ν – доля заполнения ДКЭХ, которую мы примем равной ν знак равно 1 / 3 для простоты. Бозонное поле удовлетворяет несколько странным коммутационным соотношениям

[ ф ( Икс , у ) , ф ( у , т ) ] знак равно я π ν знак ( Икс − у )

которые необходимо сделать Ψ ( Икс , т ) антикоммутирует как правильный фермион

{ Ψ ( Икс , т ) , Ψ † ( у , т ) } знак равно дельта ( Икс − у ) .

Более того, бозонное поле удовлетворяет уравнению движения

( ∂ т − в ∂ Икс ) ф ( Икс , т ) знак равно 0 .

Некоторая операторная алгебра показывает, что Ψ ( Икс , т ) также является решением этого уравнения движения. Однако мне кажется, что эти два требования, антикоммутация и уравнение движения, уже фиксируют функцию Грина фермиона!

Однако далее Вен отмечает, что эти фермионы имеют функцию Грина (уравнение (2.12) в статье)

грамм ( Икс , т ) знак равно ⟨ Т ( Ψ † ( Икс , т ) Ψ ( 0 ) ) ⟩ знак равно опыт ⁡ [ ⟨ 1 ν 2 ф ( Икс , т ) ф ( 0 ) ⟩ ] ∝ 1 ( Икс − в т ) 1 / ν .

Я не понимаю, как это может быть. В конце концов, из антикоммутационных соотношений и уравнения движения мы можем вычислить функцию Грина как

грамм ( Икс , т ) ∝ 1 Икс − в т .

Для этого задайте режимы Фурье Ψ к , Ψ к † , получить для них обычные антикоммутационные соотношения, решить уравнение движения и вернуться в реальное пространство. Результат будет таким, как указано, и показатель степени 1 / ν будет отсутствовать.

Откуда взялась экспонента 1 / ν идти? Что плохого в вычислении функции Грина из антикоммутационных соотношений и уравнения движения?

Возможно, что-то происходит внутри дельта ( Икс − у ) часть антикоммутационных соотношений? Если да, то что именно? Или, может быть, что-то об основном состоянии? Или что-то о процедуре бозонизации в целом?

Правильно ли вы принимаете во внимание нормальный заказанный продукт в определении Ψ ?
@JoséFigueroa-O'Farrill: Нет, но это не должно влиять на антикоммутационные отношения и уравнение движения? Основное состояние может быть другим, но мне трудно понять, как другое основное состояние может привести к другому показателю в функции Грина.
На самом деле они делают. Такого рода расчеты типичны для конформной теории поля, с которой мне гораздо удобнее, чем с FQHE. В CFT бозонные поля не локальны, а их токи локальны. Коммутационные соотношения бозонов можно прочитать из их операторного произведения, которое является логарифмическим. Вычисление двухточечной функции нормально упорядоченных экспонент можно найти во многих местах; например, §6.3.2 в «Конформной теории поля» Ди Франческо, Матье и Сенешаля.

Ответы (2)

Я понимаю, что вы хотите вычислить пропагатор фермионов в операторном формализме (в отличие от формализма интеграла по путям, где можно получить тот же результат). Тогда, следуя замечанию Хосе, формула фермионизации верна, т. е. дает канонические антикоммутационные соотношения, если она нормально упорядочена:

ψ ( г ) знак равно опыт ⁡ ( я 1 ν ф ( г ) ) знак равно опыт ⁡ ( я 1 ν ф + ( г ) ) опыт ⁡ ( я 1 ν ф − ( г ) )

куда ф + ( г ) ( ф − ( г ) ) содержит только зависимость компонентов поля создания (уничтожения).

Приведенная в вопросе формула пропагатора фермионов является следствием формулы произведения двух нормально упорядоченных экспонент:

: опыт ⁡ ( я а ф ( г 1 ) ) :: опыт ⁡ ( я б ф ( г 2 ) ) знак равно опыт ⁡ ( я а ф ( г 1 ) + я б ф ( г 2 ) ) : е Икс п ( − а б ⟨ ф ( г 1 ) ф ( г 2 ) ⟩ ) .

Эту формулу можно легко проверить независимо для каждой моды, используя формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

Теперь вычисления относятся к бозонному вакууму, и это причина того, что пропагатор фермионов имеет степенную зависимость.

Так, в основном, вы говорите, что | 0 ⟩ - вакуумное состояние для бозонных мод, ф − ( г ) | 0 ⟩ знак равно 0 , и что оно сильно отличается от обычного основного состояния (фермиевского моря) для фермионов, т.е. Ψ к | 0 ⟩ ≠ 0 ? Я был бы заинтересован в вычислении обратной стороны конверта, которое показывает, как «необычное» основное состояние фермионов может привести к различной зависимости функции Грина от мощности.
(дополнение: идея в том, что я хочу забыть обо всех бозонах, как только получу свои фермионные антикоммутационные соотношения, уравнения движения и основное состояние.)
Расширяя последнее утверждение в ответе: бозонная теория - это представление свободного поля взаимодействующей фермионной теории. См. Шульц, Куниберти, Пьери arxiv.org/abs/cond-mat/9807366 . Решение с помощью бозонизации на самом деле является преобразованием Боголюбова (которое смешивает операторы уничтожения и рождения, таким образом, преобразуя вакуумное состояние «свободного фермиона» в точное вакуумное состояние.
продолжение Теперь, если кто-то хочет работать исключительно с фермионными операторами, можно выразить бозе-операторы как билинейные операторы Ферми, см., например, Рао и Сена: arxiv.org/abs/cond-mat/0005492 раздел 2.1., но это просто обращение преобразования Боголюбова.
Большое спасибо, особенно за последнюю ссылку, которая, как мне кажется, является одним из самых ясных представлений о бозонизации с помощью операторов. Он показывает, чем основное состояние фермиона отличается от обычного. Не отвечая прямо на мой вопрос, вы мне очень помогли, и я приму ваш ответ.

Здесь я хотел бы сделать несколько дополнительных замечаний.

1) В уравнении (2.11) упомянутой статьи корреляция бозонного поля дается ⟨ ф ( Икс , т ) ф ( 0 ) ⟩ знак равно − ν п ⁡ ( Икс − в т ) . Это позволяет нам вычислить грамм ( Икс , т ) знак равно ⟨ Т ( Ψ † ( Икс , т ) Ψ ( 0 ) ) ⟩ знак равно опыт ⁡ [ ⟨ 1 ν 2 ф ( Икс , т ) ф ( 0 ) ⟩ ] ∝ 1 ( Икс − в т ) 1 / ν .

2) Не правильно писать { Ψ ( Икс , т ) , Ψ † ( у , т ) } знак равно дельта ( Икс − у ) , так как здесь Ψ ( Икс , т ) не голый электронный оператор. Ψ ( Икс , т ) знак равно е Икс п ( я ф ( Икс , т ) / ν ) есть только проекция оператора затравочного электрона в низкоэнергетическое подпространство. Итак, у нас есть Ψ ( Икс , т ) Ψ † ( у , т ) знак равно ( − ) 1 / ν Ψ † ( у , т ) Ψ ( Икс , т ) знак равно − Ψ † ( у , т ) Ψ ( Икс , т ) когда 1 / ν знак равно нечетное целое. Но { Ψ ( Икс , т ) , Ψ † ( у , т ) } знак равно дельта ( Икс − у ) не является правильным.

Итак, в основном вы говорите, что для Икс ≠ у у нас есть { Ψ ( Икс , т ) , Ψ † ( у , т ) } знак равно 0 , но для Икс знак равно у дельта-функция отличается от обычной? Известен ли вид этой дельта-функции?
@ Грег: Ты прав. При x=y антикоммутатор может не быть дельта -функция.
Краевая теория FQHE - Невозможно получить функцию Грина из антикоммутационных соотношений и уравнения движения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v