Какая связь между геометрией физического пространства и гильбертовым пространством?

Question

Какая связь между геометрией физического пространства и гильбертовым пространством?

кванторш

В квантовом механизме (КМ) динамические переменные представляют собой (квантованные) координаты. $x_j$ и их каноническое сопряжение $p_j = -i\partial_j$ с коммутационным соотношением $[x_j,p_k]=i\delta_{jk}$ действуют как операторы в пространстве квантовых состояний.

Что именно происходит с этим пространством состояний, когда мы меняем базовую геометрию или топологию «физического» пространства — многообразия (пространства-времени), которое служит фоном для квантовой системы? Как это изменение в геометрии/топологии отражается на гильбертовом пространстве?

В квантовой теории поля (КТП) динамическими объектами являются (квантованные) поля. $\phi (x^\mu)$ и координаты $x_i$ превращаются в простые ярлыки. Что происходит в этом случае? Как изменение геометрии/топологии меняет результирующее пространство Фока?

Я новичок в этой области, поэтому мне нужно базовое объяснение (для КМ и КТП), как установить связь между двумя концепциями геометрии/топологии физического пространства и результирующими свойствами пространства квантовых состояний - если такое желание вообще имеет смысл.

Любопытный Разум

Если быть точным - под "геометрией/топологией физического пространства" вы имеете в виду структуру классического фазового пространства , которое, в свою очередь, является кокасательным расслоением конфигурационного пространства (в принципе, любого многообразия), нанесенным на карту координатами

x_{j}

$x_j$ ? И мы делаем какой-то вариант геометрического квантования? (В контексте структуры фазового пространства следует вспомнить теорему Дарбу , эвристически указывающую на то, что нельзя увидеть никаких «локальных» эффектов, поскольку локально существует только одна симплектическая геометрия)

Феникс87

изменение координат не меняет геометрию/топологию многообразия, поэтому мне не совсем понятно, о чем вы здесь спрашиваете. Что касается того, есть ли изменения между конфигурационными пространствами разных размерностей, то ответ таков: в общем случае разницы нет из-за теоремы единственности фон Неймана.

кванторш

Под «физическим пространством» я подразумеваю многообразие (пространства-времени), в которое я помещаю свою квантовую систему. Думаю, можно было бы назвать это полуклассическим, поскольку это QM/QFT на фиксированном фоне. Например, я мог бы проанализировать частицу в искривленном пространстве. Как такое изменение геометрии повлияет на пространство квантовых состояний?

ДжамалС

@ACuriousMind Под изменением физического пространства, например, в случае скаляра, он подразумевает изменение

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ в

L \sim g_{μ ν} \partial_{μ} ϕ \partial_{ν} ϕ + \dots

$\mathcal L \sim g_{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi + \dots$ То есть лежащее в основе пространство-время, или, говоря языком теории струн, целевое пространство.

кванторш

Да, точно! Лежащее в основе пространство-время (или, в нерелятивистском случае, просто пространство, например, электрон, ограниченный искривленной поверхностью). Что (если вообще происходит) происходит с пространством Гильберта/Фока? Изменяются ли квантовые состояния или операторы?

Любопытный Разум

@JamalS: Поправьте меня, если я ошибаюсь, но у нас нет полной квантовой теории, которая квантовала бы полное пространство-время общей теории относительности, не так ли? Я вижу, как теория струн могла бы ответить на этот вопрос, но тогда этот вопрос на самом деле не о процедуре квантования, которую мы обычно используем в КМ и КТП.

Любопытный Разум

ОП, возможно, вы ищете QFT в искривленном пространстве-времени ?

кванторш

@ACuriousMind: это не обязательно должно быть релятивистским. Рассмотрим случай, когда электрон ограничен искривленной поверхностью. Влияет ли геометрия фона на пространство состояний?

ДжамалС

@ACuriousMind Я не предполагал, что теория струн все равно может ответить на этот вопрос, я просто использовал ее, чтобы сформировать вопрос другими словами. И да, полного пути нет.

София

@quantumorsch: посмотрите на простую ситуацию, и вы поймете. Скажем для простоты, что мы работаем в одном измерении. Тогда населенность внутри гильбертова пространства — это функции

ψ (x)

$\psi(x)$ . Теперь перейдем к другому конфигурационному пространству, где

y = a x

$y = ax$ , с

a =

$a=$ какая-то постоянная. В функциях

ψ (x)

$\psi (x)$ мы должны ввести преобразование

x = y / a

$x = y/a$ . Всего мы получаем функции

ψ (y / a)

$\psi(y/a)$ . Наши новые операторы

x

$x$ и

p

$p$ будет сейчас

y

$y$ и

- i ℏ \frac{\partial}{\partial y} = - i \frac{ℏ}{a} \frac{\partial}{\partial x}

$-i \hbar \frac {∂}{∂y} = -i \frac {\hbar}{a} \frac {∂}{∂x}$ . (Я продолжаю)

София

@quantumorsch Тогда, что происходит, когда мы вычисляем, скажем

⟨ p ⟩

$\langle p \rangle$ ? Мы делаем

\frac{1}{a} \int ψ^{*} (y / a) \frac{\partial ψ (y / a)}{\partial y} d y

$\frac {1}{a} \int \psi^*(y/a) \frac {∂\psi (y/a)}{∂y} \ dy$ . Сделайте это вычисление! Вы получите в конце

\frac{1}{a} \int ψ^{*} (x) \frac{\partial ψ (x)}{\partial x} d x

$\frac {1}{a}\int \psi^*(x) \frac {∂\psi (x)}{∂x} dx$ . Во всем, что вы получаете

⟨ p ⟩

$\langle p \rangle$ является

a

$a$ раз меньше, чем в прежней геометрии, потому что

y

$y$ является

a

$a$ раз больше. Не забывайте, что

p = m v

$p = mv$ , поэтому, если вы используете для расстояния единицу

a

$a$ раз больше, значение скорости равно

a

$a$ раз меньше.

взн

кажется, что этот вопрос можно интерпретировать как вопрос о том, как QM сочетается с GR, который является открытой областью исследований ... вопрос о том, как примирить их, остается открытым на протяжении десятилетий.

София

@vzn спрашивающий не задавал большой философии , он хотел получить простое представление о том, что происходит. Я дал ему.

взн

lol QM, связанный с GR, - это не философия ... это глубокий эмпирический вопрос в основе прикладной физики, затрагивающий космологию, большой взрыв, расширение вселенной, черные дыры и т. Д. ... ps это почти вопрос, который мог бы задать даже Эйнштейн работал над некоторыми...

пользователь46925

аналогичный вопрос, но по пространству ОТО: Физическая основа наших предположений о физическом пространстве . Хотя объекты кажутся разными, их отношения схожи, и две темы могут иметь одинаковые подходы к соединителям.

Ответы (2)

Какая связь между геометрией физического пространства и гильбертовым пространством?

Если быть точным - под "геометрией/топологией физического пространства" вы имеете в виду структуру классического фазового пространства , которое, в свою очередь, является кокасательным расслоением конфигурационного пространства (в принципе, любого многообразия), нанесенным на карту координатами $x_j$ ? И мы делаем какой-то вариант геометрического квантования? (В контексте структуры фазового пространства следует вспомнить теорему Дарбу , эвристически указывающую на то, что нельзя увидеть никаких «локальных» эффектов, поскольку локально существует только одна симплектическая геометрия)
изменение координат не меняет геометрию/топологию многообразия, поэтому мне не совсем понятно, о чем вы здесь спрашиваете. Что касается того, есть ли изменения между конфигурационными пространствами разных размерностей, то ответ таков: в общем случае разницы нет из-за теоремы единственности фон Неймана.
Под «физическим пространством» я подразумеваю многообразие (пространства-времени), в которое я помещаю свою квантовую систему. Думаю, можно было бы назвать это полуклассическим, поскольку это QM/QFT на фиксированном фоне. Например, я мог бы проанализировать частицу в искривленном пространстве. Как такое изменение геометрии повлияет на пространство квантовых состояний?
@ACuriousMind Под изменением физического пространства, например, в случае скаляра, он подразумевает изменение $g_{\mu\nu}$ в $\mathcal L \sim g_{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi + \dots$ То есть лежащее в основе пространство-время, или, говоря языком теории струн, целевое пространство.
Да, точно! Лежащее в основе пространство-время (или, в нерелятивистском случае, просто пространство, например, электрон, ограниченный искривленной поверхностью). Что (если вообще происходит) происходит с пространством Гильберта/Фока? Изменяются ли квантовые состояния или операторы?
@JamalS: Поправьте меня, если я ошибаюсь, но у нас нет полной квантовой теории, которая квантовала бы полное пространство-время общей теории относительности, не так ли? Я вижу, как теория струн могла бы ответить на этот вопрос, но тогда этот вопрос на самом деле не о процедуре квантования, которую мы обычно используем в КМ и КТП.
ОП, возможно, вы ищете QFT в искривленном пространстве-времени ?
@ACuriousMind: это не обязательно должно быть релятивистским. Рассмотрим случай, когда электрон ограничен искривленной поверхностью. Влияет ли геометрия фона на пространство состояний?
@ACuriousMind Я не предполагал, что теория струн все равно может ответить на этот вопрос, я просто использовал ее, чтобы сформировать вопрос другими словами. И да, полного пути нет.
@quantumorsch: посмотрите на простую ситуацию, и вы поймете. Скажем для простоты, что мы работаем в одном измерении. Тогда населенность внутри гильбертова пространства — это функции $\psi(x)$ . Теперь перейдем к другому конфигурационному пространству, где $y = ax$ , с $a=$ какая-то постоянная. В функциях $\psi (x)$ мы должны ввести преобразование $x = y/a$ . Всего мы получаем функции $\psi(y/a)$ . Наши новые операторы $x$ и $p$ будет сейчас $y$ и $-i \hbar \frac {∂}{∂y} = -i \frac {\hbar}{a} \frac {∂}{∂x}$ . (Я продолжаю)
@quantumorsch Тогда, что происходит, когда мы вычисляем, скажем $\langle p \rangle$ ? Мы делаем $\frac {1}{a} \int \psi^*(y/a) \frac {∂\psi (y/a)}{∂y} \ dy$ . Сделайте это вычисление! Вы получите в конце $\frac {1}{a}\int \psi^*(x) \frac {∂\psi (x)}{∂x} dx$ . Во всем, что вы получаете $\langle p \rangle$ является $a$ раз меньше, чем в прежней геометрии, потому что $y$ является $a$ раз больше. Не забывайте, что $p = mv$ , поэтому, если вы используете для расстояния единицу $a$ раз больше, значение скорости равно $a$ раз меньше.
кажется, что этот вопрос можно интерпретировать как вопрос о том, как QM сочетается с GR, который является открытой областью исследований ... вопрос о том, как примирить их, остается открытым на протяжении десятилетий.
@vzn спрашивающий не задавал большой философии , он хотел получить простое представление о том, что происходит. Я дал ему.
lol QM, связанный с GR, - это не философия ... это глубокий эмпирический вопрос в основе прикладной физики, затрагивающий космологию, большой взрыв, расширение вселенной, черные дыры и т. Д. ... ps это почти вопрос, который мог бы задать даже Эйнштейн работал над некоторыми...
аналогичный вопрос, но по пространству ОТО: Физическая основа наших предположений о физическом пространстве . Хотя объекты кажутся разными, их отношения схожи, и две темы могут иметь одинаковые подходы к соединителям.

Любопытный Разум · Answer 1

Комментарии ОП в качестве примера того, о чем вопрос:

Рассмотрим случай, когда электрон ограничен искривленной поверхностью. Влияет ли геометрия фона на пространство состояний?

Для обычной КМ можно дать простой ответ: частица (скалярная, т.е. со спином 0), движущаяся в одном измерении, имеет пространство состояний $L^2(\mathbb{R})$ , частица в трех измерениях имеет пространство состояний $L^2(\mathbb{R}^3)$ . Пространство состояний частицы, движущейся по подмногообразию $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3$ , например, частица, движущаяся по любой гладкой поверхности, по аналогии просто $L^2(\mathcal{M})$ т.е. функции, квадратичный интеграл которых по $\mathcal{M}$ существует.

Обратите внимание, что преобразования Фурье (т. е. связывающие представления положения и импульса) на многообразиях, которые не являются $\mathbb{R}^n$ несколько сложны, см. этот пост math.SE .

Спасибо! Итак, для простоты: электрон, заключенный в 1D (тонкий провод), описывается одним и тем же пространством состояний для каждого возможного изгиба провода (поскольку функции на нем остаются прежними) — никакие квантовые состояния вообще не меняются? Никаких сдвигов энергетических уровней или чего-то подобного?
@quantumorsch: Я считаю, что это так - одно измерение есть одно измерение, и обычный КМ не может «увидеть» кривизну.
Это именно то, что я хотел узнать! Гильбертово пространство не может видеть кривизну/геометрию/топологию основного многообразия (фонового пространства). Я нахожу весьма примечательным, что все эти системы произвольной сложной геометрии (но с одинаковой размерностью) совершенно одинаковы и вообще не имеют никаких последствий для квантовых состояний и операторов!
@quantumorsch: Пространство-время (или пространство) на самом деле не является «основным многообразием» гильбертова пространства квантовой системы. Гильбертово пространство квантовой версии классической системы получается из классического фазового пространства системы, а не пространства-времени, в котором она живет.
Конечно, спасибо. Конечно, волновая функция живет в конфигурационном/фазовом пространстве, а не в пространстве, но живет сама система. Поэтому меня все еще сбивает с толку тот факт, что изменение геометрии этого пространства не влияет на квантовые состояния...
@quantumorsch: Это не так просто, см. ссылку на QFT в искривленном пространстве-времени. Я прокомментировал ваш вопрос. У нас нет полной квантовой теории, живущей в полном пространстве-времени ОТО. Кроме того, то, что пространства состояний одинаковы, не означает, что состояния одинаковы . Состояния для частицы, ограниченной изогнутой линией, не совпадают с состояниями для частицы на прямой линии, их пространства состояний, естественно, изоморфны , поскольку они оба $L^2(\mathbb{R})$ , они не буквально одинаковы .
О, так это меняет квантовые состояния! Это то, чего я наивно ожидал. Я принял ваш ответ, но, к сожалению, я все еще не удовлетворен...

Qмеханик · Answer 2

Комментарии к вопросу (v3):

Возможные квантовые состояния зависят от топологии пространства-времени. Например, импульс в дополнительном (пятом) направлении 5-мерной теории Калуцы-Клейна является квантованной/дискретной переменной, если дополнительное (пятое) измерение представляет собой компактный круг. $S^1$ , но непрерывная переменная, если вместо этого дополнительное (пятое) измерение представляет собой некомпактную действительную линию $\mathbb{R}$ .
Для классической системы с некоторыми геометрическими данными, скажем, гамильтоновой системы, определенной на симплектическом многообразии $(M,\omega)$ , это огромная область исследований в физике, чтобы попытаться разработать общий рецепт того, как квантовать теорию и определить соответствующее гильбертово пространство физических состояний и наблюдаемых. См., например, тему геометрического квантования, ср. исх. 1-3.

Использованная литература:

Какая связь между геометрией физического пространства и гильбертовым пространством?

кванторш

Любопытный Разум

Феникс87

кванторш

ДжамалС

кванторш

Любопытный Разум

Любопытный Разум

кванторш

ДжамалС

София

София

взн

София

взн

пользователь46925

Ответы (2)

Любопытный Разум

кванторш

Любопытный Разум

кванторш

Любопытный Разум

кванторш

Любопытный Разум

кванторш

Qмеханик

Эффект Ааронова-Бома и квантование потоков в сверхпроводниках

Можно ли рассматривать электрослабые/сильные взаимодействия и/или квантовую механику как геометрические?

Зачем нужны нетривиальные расслоения?

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Вакуум в квантовых теориях поля: что это такое?

Угловые моменты фотона

Квантово-полевые модели декогеренции

Оператор, описывающий детектор частиц

Когда квантовая оптика «верна»?

Какова точная связь между бозонным фоковским пространством и квантовым гармоническим осциллятором?