Классический предел коммутатора

Аргумент Дирака находится на стр. 85-86, и он звучит так:

Классическая скобка Пуассона подчиняется следующим правилам:

$$\{A,B\} = -\{B,A\}$$ $$\{aA + bB ,C\} = a\{ A,C\} + b\{B,C\}$$ $$\{AB,C\} = A\{B,C\} + \{B,C\}A$$ $$\{\{A,B\},C\} = \{B,\{A,C\}\} - \{A,\{B,C\}\}$$

Где я переписал тождество Якоби так, как это имеет смысл. Теперь Дирак спрашивает, можно ли определить такую ​​вещь для некоммутирующих квантовых объектов, и он отмечает, что можно, если

$$i\hbar [A,B] = (AB - BA)$$

Где$\hbar$представляет собой контекст пропорциональности, фиксируемый анализом измерений, в то время как$i$существует, чтобы гарантировать, что аналог скобки Пуассона является эрмитовым, поскольку наблюдаемые должны быть по соглашению (антикоммутатор является антиэрмитовым).

Он выводит это, расширяя коммутатор:$[AB,CD]$используя приведенные выше формальные правила в качестве аксиом двумя разными способами. Отсюда он находит, что

$$[A,C](BD - DB) = (AC-CA)[B,D]$$

В классической теории это дает$0=0$, но в квантовой механике наблюдаемые не коммутируют, поэтому вы узнаете, что коммутаторы следует идентифицировать как квантовые аналоги скобок Пуассона. Затем он утверждает, что$\hbar$коммутирует со всем, и, следовательно, должны выполняться коммутационные соотношения, и отсюда следует, что картина Шредингера доступна.

Аргумент обтекаемый и не исторически точный. Первоначальный аргумент Гейзенберга (или что-то очень близкое к нему) см. на странице Matrix Mechanics в Википедии .

На странице 87 Дирак пишет, что коммутационное соотношение между двумя наблюдаемыми u и v задается выражением

$$uv-vu=i \hbar [u,v]$$ Теперь см. уравнения. 8: $$[q_{r},q_{s}] = 0$$ $$[p_{r},p_{s}] = 0$$ $$[q_{r},p_{s}] = \delta _{rs}$$ Чтобы найти соответствующие квантовые коммутаторы для приведенных выше соотношений, мы просто подставляем их в первое уравнение, получая квантовые версии: $$q_{r}q_{s} - q_{s}q_{r} = 0$$ $$p_{r}p_{s} - p_{s}p_{r} = 0$$ $$q_{r}p_{s} - p_{s}q_{r} = i \hbar\delta _{rs}$$ Вы можете увидеть эту настройку $\hbar = 0$дает 0 для третьего уравнения - это классический предел, поскольку в классической физике любые две наблюдаемые коммутируют (в классической физике наблюдаемые не являются операторами, и нет принципа неопределенности). Таким образом $\hbar \rightarrow 0$, квантовая механика сводится к классической физике.