Произведение Мойала в некоммутативной квантовой механике

I) Ассоциативное некоммутативное произведение Мойала/Грюнволда/звезды$f\star g$объясняется в Википедии . Соответствующий$\star$-коммутатор определяется как

$$\tag{1} [f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.$$

В частности, тождество Якоби для$\star$-коммутатор является следствием ассоциативности$\star$-продукт.

II) С одной стороны, есть алгебра функций, скажем, алгебра$\mathbb{C}[[x]]$степенных рядов в неопределенных числах$x_a$. Оснащаем его агрегатом$1$и$\star$-продукт$^1$так что

$$\tag{2} [x_a\stackrel{\star}{,}x_b]~=~i\theta_{ab}.$$

III) С другой стороны, существует алгебра Гейзенберга$({\cal A}, +, \circ)$Сгенерированно с помощью

$$\tag{3} [X_a\stackrel{\circ}{,}X_b]~=~i\theta_{ab}{\bf 1}.$$

Здесь элементами алгебры Гейзенберга являются (линейные) операторы, действующие на функции; произведение алгебры$\circ$состав; блок алгебры${\bf 1}$тождественный оператор; и

$$\tag{4} [A \stackrel{\circ}{,}B]~:=~A \circ B - B \circ A$$

обычный композиционный коммутатор двух операторов$A$и$B$.

IV) Существует единственный изоморфизм алгебр

$$\tag{5} (\mathbb{C}[[x_a]],+, \star) ~\stackrel{\Phi}{\longrightarrow}~({\cal A}, +, \circ)$$

Сгенерированно с помощью

$$\tag{6} \Phi(x_a)~:=~X_a.$$

Отсюда следует, что изоморфизм алгебр$\Phi$отображает (2) в (3).

V) Алгебра Гейзенберга действует на алгебре$\mathbb{C}[[x]]$, т.е. оператор$A$действует на функцию$\psi$и создать новую функцию$A(\psi)$. Конкретно, для элемента$A\in {\cal A}$определять

$$\tag{7} A(\psi)~:=~\Phi^{-1}(A) \star \psi.$$

Эквивалентно,

$$\tag{8} \Phi(f) (g)~:=~f \star g.$$

Нетрудно видеть, что определение (7) согласуется с тем, что$\Phi$является изоморфизмом алгебр.

--

$^1$Существует также стандартное коммутативное и ассоциативное поточечное умножение.$\cdot$функций, которая здесь почти не играет роли.