Гейзенберговская картина КМ как результат формализма Гамильтона

Как и в большинстве, если не во всех (в конечном счете) вещах в физике, НЕ выводится $(2)$от$(1)$, можно предположить$(2)$от$(1)$а затем подтверждает обоснованность догадки путем эксперимента. Я немного легкомысленно использую слово «догадка» как небольшую сатиру на нас самих как физиков, когда мы (в том числе и я) теряем точку зрения на тот факт, что мы не придумываем математических доказательств. Чтобы я не прозвучал немного снисходительно - вы можете принять нижеследующее как критику и поправку, которую я много раз сурово высказывал СЕБЕ, когда задавал подобные вопросы, а также этот.

Итак, давайте перефразируем наш вопрос как «как (1) мотивирует (2)»? (1) описывает эволюцию во времени значения некоторой гладкой функции$f = f(\psi)$на коллекторе$M$мы называем «конфигурационным пространством», когда состояние системы$\psi \in M$развивается по пути в$M$, путь которого определяется классическими уравнениями движения Гамильтона. Все детерминировано, координаты представлены обобщенными позициями$\mathbf{p}$и импульсы$\mathbf{q}$в принципе определимы с бесконечной точностью, и можно осмысленно говорить о системных «позициях» и «импульсах» одновременно с любой точностью. Мы можем думать об общей гладкой функции$f(\psi)$как бесконечно точное измерение системы, когда состояние последней$\psi$.

Затем появляется Гейзенберг и говорит, что единственными реальными вещами являются измерения, и что бесконечно точное описание состояния в конфигурационном пространстве, как это сделано в классической гамильтоновой и лагранжевой механике, бессмысленно, по крайней мере, на квантовом уровне, потому что точное измерение некоторых взаимодействий -ординаты в пространстве состояний означают, что другие могут быть измерены только грубо - т.е. рождается принцип неопределенности.

Это новое мышление не просто делает концепцию конфигурационного пространства неудобной, оно полностью разрушает концепцию конфигурационного пространства, так что у нас есть нечто действительно новое. Если мы хотим спасти наши классические идеи, то это можно сделать только с помощью догадок, аналогий, вдохновения, а не выводов. Единственные выводы, которые мы делаем, противоположны: как только мы догадались о новой теории, мы должны показать, что можем вывести старую как приближение, действующее, когда экспериментальные условия таковы, что подтверждали старую теорию.

Так как же найти «догадки» и «вдохновения»? Ответ был разным почти для каждого практикующего раннюю квантовую механику, точно так же, как вы, вероятно, получите много ответов на свой вопрос — все в порядке и хорошо работает в качестве вдохновения для конкретного человека, выдвинувшего их. Вот как я люблю думать о вещах.

После Гейзенберга у нас остается некоторое состояние$\psi$отделены от любого конфигурационного пространства, и это состояние определяет значения различных наблюдаемых , которые являются операторами, моделирующими измерения, вместе со специальными рецептами для интерпретации того, какие измерения эти операторы дают, когда состояние$\psi$преобладает. Поскольку у нас нет места для конфигурации, нам действительно не с чем работать, поэтому мы просто говорим$\psi$принадлежит некоторому гильбертовому пространству, а наблюдаемые являются операторами в этом пространстве, см. мое описание здесь . Я, в отличие от Гейзенберга, также предпочитаю начинать с общего уравнения Шрёдингера, поскольку оно на самом деле предполагает не более чем линейность вместе с предположением, что описание системы не меняется во времени: это дает

( см. мое объяснение этого здесь ). В этот момент$\hat{H}$— это некоторая наблюдаемая, которая каким-то образом определяет внутренности системы. После этого мы можем перейти от картины Шредингера к картине Гейзенберга (также как в том же ответе, который я только что процитировал), в котором состояние больше не развивается, а вместо этого развиваются наблюдаемые:

и в этот момент мы (или, скорее, Дирак в 1926 году) замечаем сходство между эволюцией наблюдаемой и эволюцией классического измерения в конфигурационном пространстве в соответствии с вашим уравнением (1), включающим скобку Пуассона. Именно это сходство или аналогия побуждает людей догадываться, что квантовые теории можно отличить от классических, заменив скобки Пуассона скобками Ли. Есть и другие математические аналогии, которые некоторые люди (включая меня) находят утешительными и мотивирующими: например, скобки Пуассона могут определять дифференцирования (в алгебраическом, а не логическом смысле слова) на линейном пространстве гладких функций на конфигурационном пространстве. многообразие$M$, точно так же, как скобки Ли определяют дифференцирования на касательном расслоении некоторого общего гладкого многообразия. В конечном счете, доказательство заключается в успехе любой теории в предсказании экспериментальных результатов.

Теперь стоит упомянуть, что постфактум исследователи (особенно Вейль, Вигнер Грёневолд и Мойал) нашли способ переформулировать квантовую механику так, чтобы можно было показать, что оба ваших уравнения (1) и (2) принадлежат более общему весь. Классическое фазовое пространство может быть «перерождено» в квантовое фазовое пространство, где теперь информация в состоянии$\psi$в гильбертовом пространстве заменяется вполне логически эквивалентным квазивероятностным распределением, которое является функцией распределения по координатам фазового пространства$p_j$и$q_j$: см. страницу Википедии о формулировке квантового фазового пространства : это распределение вероятностей является вещественным, но может быть отрицательным в небольших областях фазового пространства. Однако такие области малы в том смысле, что «достаточно малы, чтобы представлять одновременную точность в$p$и$q$это нарушило бы принцип неопределенности. В областях, допускаемых принципом неопределенности, интегральное распределение является положительным, так что оно становится «классическим» распределением вероятностей, если вы представляете себе «грубое усиление» квантового фазового пространства, так что оно аппроксимируется дискретными точками, каждая из которых занимает место объем в фазовом пространстве, соответствующий одновременной точности в$x$и$p$что допускается принципом неопределенности. Наблюдаемые теперь становятся, благодаря преобразованию Вигнера-Вейля, операторами в фазовом пространстве — обобщенными маргинальными интегралами вероятности — и композиция операторов заменяется звездным произведением. Скобка Ли операторов заменяется скобкой Мойала . Теперь мы подошли к обобщенной версии вашего уравнения (1):

где скобка Мойал$\{\{\;,\;\}\}$ваша классическая скобка Пуассона плюс условия более высокого порядка $\hbar^2$Итак, мы проходим полный круг. Скобка Мойала - это обобщенный вывод (опять же в алгебраическом смысле), который включает непрерывную деформацию между классической скобкой Пуассона и квантово-механической скобкой Ли, параметризуемую вещественным параметром.$\hbar$(со скобкой Пуассона в результате$\hbar\rightarrow 0$). Это чрезвычайно изящно и убедительно, но важно учитывать, что все это было сделано задним числом, незадолго до 1949 года. Такое обобщение является своего рода «выводом» классической физики как предела более общей квантовой теории. физика, о которой я говорил в начале своего ответа.

Наконец, еще один путь между классической и квантовой идеями можно увидеть во временной эволюции гиперповерхностей постоянного действия в классическом конфигурационном пространстве, которая, как можно показать, описывается уравнением Эйконала (переформулировка уравнения Гамильтона-Якоби), которое в данном контексте является нелинейным уравнением Шрёдингера: см. страницу Википедии об уравнении Гамильтона-Якоби . Теперь, думая об этих гиперповерхностях постоянного действия, уравнение Эйконала является аппроксимацией уравнения Гельмгольца, которое выполняется, когда скалярное поле изменяется в пространстве медленно по сравнению с длиной волны. Итак, наша мотивация состоит в том, что, возможно, уравнение Гамильтона-Якоби — это просто приближение, которое имеет место, когда скорость изменения действия$S$мало по сравнению с некоторым квантом действия$\hbar$на единицу "расстояния" в конфигурационном пространстве. Таким образом, мы «обратно проектируем» эту переформулировку уравнения Гамильтона-Якоби, чтобы получить фактическое уравнение Шредингера, используя взаимосвязь между уравнениями Эйконала и Гельмгольца, чтобы помочь нам. Получив уравнение Шрёдингера, мы можем получить ваше уравнение (2).

Не забудьте также изучить историю ранних идей замены Пуассона скобками Ли в статье, цитируемой @Trimok: http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/fileserverPub/Duncan-Janssen_2009_Canonical- Transformations.pdf/V1_Duncan-Janssen_2009_Canonical-Transformations.pdf

Чтобы дополнить ответ WetSavannaAnimal, я хотел бы добавить несколько рекомендуемых чтений. Во-первых, позвольте мне немного перефразировать вопрос.

Проблема

Найдите отображение (или присвоение) наблюдаемым классической механики, которые являются вещественными функциями.$f(p_k, q^k)$из$(p_k,q^k) = (p_1, \dots, p_{n}, q^{1}, \dots, q^{n})\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$(фазовое пространство), самосопряженные операторы$Q_{f}$на гильбертовом пространстве$L^{2}(\mathbb{R}^{n})$таким образом, что

1. Линейность. Переписка$f\to Q_{f}$является линейным
2. Сохраняет личность. У нас есть$Q_{\mathbf{1}}=I$где$I$является тождественным оператором и$\mathbf{1}$постоянная функция, которая всегда равна 1
3. Скобка Пуассона становится коммутатором. Для любых функций на фазовом пространстве$f(p,q)$и$g(p,q)$, у нас есть $$Q(\{f,g\}) = \frac{-\mathrm{i}}{\hbar}[Q_{f},Q_{g}]$$
4. Нередуцируемость. Это техническое требование: у нас есть$Q_{q}$и$Q_{p}$представляться неприводимо. Обычно достаточно сказать, что в координатах позиционного пространства мы имеем$Q_{p}=\mathrm{i}\hbar\partial_{q}$и$Q_{q}=q$.

Ван Хов (и Грюневальд независимо) доказали теорему о невозможности, утверждая, что в общем случае невозможно найти такое$Q$. Первые две ссылки ниже рассматривают теорему и ее обходные пути; третий обзор истории квантования классических систем.

Короткий ответ: это невозможно, потому что данная карта не может последовательно квантовать термины квадратичного или более высокого порядка (например,$q^{3}p^{3}$можно квантовать разными способами, что дает неэквивалентные результаты).

Конечно, теоретически природа уже квантуется ... так что спрашивать "Как мы квантуем эту классическую систему" - неправильный вопрос . Но это не мешает нам придумывать подходы к квантованию ;)

Рекомендации

1. С. Тварек Али, Мирослав Энглиш, «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков». Rev.Math.Phys. 17 (2005) 391-490. Электронная почта arXiv:math-ph/0405065
2. Марк Дж. Готай, «Препятствия квантованию». J. Нелинейные науки. 6 (1996) 469-498. Существенно переработанный eprint arXiv:math-ph/9809011
3. Немного истории методов квантования также может быть полезным чтением! Н.П. Ландсман, "Между классическим и квантовым". Электронная почта arXiv: quant-ph/ 0506082