Какие КТП были тщательно сконструированы?

Какие КТП имеют математически строгие конструкции а-ля КТП? Я понимаю, что в 2D много таких конструкций, в частности, 2D CFT хорошо изучена математически. Но даже в 2D есть много теорий без известных конструкций, например, нелинейные сигма-модели в большинстве искривленных целевых пространств. В более высоких измерениях список несвободных примеров намного короче.

Я ищу полный список КТП, построенных на сегодняшний день, со ссылкой на каждую конструкцию. Кроме того, было бы неплохо иметь хорошую актуальную обзорную статью по всей теме.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Этот вопрос касается КТП в пространстве-времени Минковского (или, по крайней мере, евклидовом), а не пространства-времени с кривизной и/или нетривиальной топологией.

Г. Шарф считает, что он строго построил КЭД в своей «Конечной квантовой электродинамике» (реалистичная КТП) ;-)
@Vladimir: Шарф дает только пертурбативную конструкцию, используя метод Эпштейна и Глейзера. Я думаю, что вопрос относится к строгим непертубативным конструкциям.
@Squark: что вы подразумеваете под «а-ля AQFT»? Вам нужен только список теорий, построенных с использованием методов алгебраической КТП? или вам нужен список всех теорий, построенных любым методом, но удовлетворяющих аксиомам Вайтмана аксиоматической КТП?
@Abdelmalek: я имею в виду теории, построенные любыми методами. Все, что можно разумно назвать строгой конструкцией КТП. Я думаю, что аксиомы Вайтмана, вероятно, слишком ограничительны, но Хааг-Кастлер, вероятно, должен применяться ко всем разумным примерам.
Господа, пока все ответы касаются только случая 2D. Я полагаю, есть несколько взаимодействующих примеров в 3D, по крайней мере, нет?
@Squark: я не думаю, что аксиомы Вайтмана слишком ограничительны. С Haag-Kastler просто легче работать. При подходящих технических предположениях можно перейти от одного к другому и обратно.
@Pieter: Аксиомы Вайтмана необходимо расширить, чтобы иметь дело с такими теориями, как модели КХД и 2d сигма, где алгебра наблюдаемых порождается локальными операторами, которые сами по себе не являются наблюдаемыми (потому что у них нет четко определенных корреляционных функций). В этих теориях соответствие между состоянием и оператором, встроенное в аксиомы Вайтмана, не совсем работает. Это не непреодолимое препятствие: что-то вроде аксиом Холланда-Вальда, вероятно, подойдет.

Ответы (6)

Здесь список будет слишком длинным. Это также зависит от того, насколько вы требовательны к понятию «быть построенным». Если принять довольно ограничительное определение: все аксиомы Вайтмана установлены, то это исключает Янга-Миллса, хотя важная работа была проделана Балабаном, как упоминал Хосе, а также другие авторы: Федербуш, Магнен, Ривассо, Сеньор. Примеры теорий, в которых были проверены все аксиомы Вайтмана:

  • Массивные двумерные скалярные теории с полиномиальными взаимодействиями, см. эту статью Глимма, Джаффе и Спенсера.

  • массивный ф 4 в 3d см. эту статью Фельдмана и Остервальдера, а также эту статью Магнена и Сеньора.

  • Массивный Гросс-Невё в 2d см. эту статью Гавендзки и Купиайнена и эту статью Фельдмана, Магнена, Ривассо и Сенеора.

  • Массивная модель Тирринга, см. эту статью Фрёлиха и Зайлера и более свежую статью Бенфатто, Фалько и Мастропьетро.

Обратите внимание, что конформная сеть AQFT , как в ответах Марселя и Питера, дает только «хиральные данные» CFT, а не полную CFT, определенную для всех родов. Для рационального случая полные 2d CFT были построены и классифицированы FFRS . Также Лян Конг разработал идеи, которые превращают хиральную КТП в полную КТП (строго), см. этот обзор .

Помимо этого, конечно, были строго построены топологические КТП, включая топологические сигма-модели на нетривиальных мишенях. Через " TCFT " это включает модель A и модель B в 2d.

Хорошо, но я действительно думал о КТП в пространстве-времени Минковского (или, по крайней мере, в евклидовом пространстве-времени).
Я еще не сделал комментарий в моем списке. Всегда можно взять произведение двух хиральных частей А + ⊗ А − для получения модели в двумерном пространстве Минковского и ее дополнительных расширений. Я предполагаю, что FFRS - это построение CFT на пространстве с нетривиальной топологией?
Да, для нетривиальной топологии. Вот что я имею в виду под «для всех родов». Конструкция Конга также имеет дело с этим случаем, хотя, я думаю, менее явно.
Кстати, просто для протокола: хотя, возможно, это и не считается «полной конструкцией», в последнее время была проделана немалая работа по превращению обычных инструментов пертурбативной КТП в строгие конструкции «пертурбативных КТП-сетей». Некоторые ссылки находятся здесь ncatlab.org/nlab/show/perturbation%20theory#ReferencesInAQFT.

Для CFT есть много примеров. Приведу несколько примеров локальных конформных сетей на окружности (или вещественной прямой). Модель Изинга, о которой упоминает Питер, — это сеть Вирасоро с с знак равно 1 / 2 . Сеть Вирасоро может быть построена для дискретного с < 1 а также с > 1 . См. например.

  • Кавахигаси Ю. Лонго Р. (2004) "Классификация локальных конформных сетей. Случай c<1" Ann. математики. 160, стр. 493-522

Кроме того, они классифицируют все локальные конформные сети с центральным зарядом. с < 1 . Представления групп петель с положительной энергией дают конформные сети.

  • Юрг Фрёлих и Фабрицио Габбиани. Операторные алгебры и конформная теория поля. Комм. Мат. физ. Том 155, номер 3 (1993), 569-640. Ссылка на сайт

Конформные сети, связанные с решетками и их орбифолдами, строятся в

  • Донг и Сюй. Конформные сети, связанные с решетками и их орбифолдами. Успехи в области математики (2006 г.), том: 206, выпуск: 1, страницы: 279-306.

а в том же выпуске Кавахигаси и Лонго построили сеть «самогона».

  • Кавахигаси и Лонго. Локальные конформные сети, возникающие из оснащенных алгебр вершинных операторов. Доп. Мат. 206 (2006), 729-751.

Для массивных моделей в 2D Лехнер построил факторизующие S-матричные модели, в которых априори являются просто «клино-локальными» сетями, но ему удалось показать для класса, что они показывают существование локальных наблюдаемых.

  • Лехнер. Построение квантовых теорий поля с факторизующими S-матрицами. Комм.Математика.Физ. 277, 821-860 (2008)
Хорошо, это хорошие примеры. Но кто-нибудь составил полный список строгих 2d КТП? Или хотя бы ЦФТ?
Вы можете составить список конструкций, но, например, каждая четная решетка дает конформную сеть или алгебру вершинных операторов (VOA). Даже классификация даже самодуальных решеток кажется безнадежной задачей...
Ну, мне не нужна классификация, достаточно простого списка известных конструкций.
Кстати, Карпи, Кавахигаси, Лонго, Вайнер также ведут работу по переходу от унитарного VOA (+ сомная техническая асс.) к конформной сети.

Я предполагаю, что вы знаете, что теории свободного поля могут быть построены (я полагаю, в произвольном измерении пространства-времени).

В алгебраической квантовой теории поля (а-ля Хааг) есть, например, конформная модель Изинга. Вы можете найти больше об этом в этих ссылках:

  • Мак, Г., и Шомерус, В. (1990). Конформные алгебры поля с квантовой симметрией из теории секторов суперотбора. Сообщения по математической физике, 134 (1), 139–196.
  • Бёкенхауэр, Дж. (1996). Локализованные эндоморфизмы киральной модели Изинга. Сообщения по математической физике, 177 (2), 265–304.

В последнем «локализованные эндоморфизмы», как в программе Доплихера-Хаага-Робертса на секторах суперотбора. См., например , эту статью на arXiv.

Наверняка есть еще примеры, тоже в сеттинге Вайтмана, но я с ними не очень знаком.

Подход к строгому построению калибровочных теорий осуществляется через решетку. В 1980-х годах было несколько статей — я помню статьи Тадеуша Балабана (MathSciNet) (inSPIRE) в Communications — на эту тему.

Все КТП на решетке хорошо определены. Возможно, все хорошо определенные КТП являются либо теорией решетки, либо низкоэнергетическим пределом теории решетки. См. связанный пост Строгость в квантовой теории поля

Капризная придирка: все КТП на конечной решетке хорошо определены. Бесконечная решетка может представлять настоящие проблемы.
У нас никогда не бывает бесконечной решетки. Даже наблюдаемая Вселенная имеет конечный объем.
Какие КТП были тщательно сконструированы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v