Статус локальной калибровочной инвариантности в аксиоматической квантовой теории поля

Я думаю, что открытый вопрос здесь следует сформулировать — и обычно формулируют — не так, «имеет ли место» теория Янга-Миллса в АКФТ, а можно ли абстрактно охарактеризовать те локальные сети, которые возникают в результате квантования Янга-Миллса. лагранжианы типа. Другими словами: поскольку КТП обеспечивает аксиоматику для КТП независимо от процесса квантования, начинающегося с функционала действия: можно ли определить по конечному результату квантования, что он начался с лагранжиана типа Янга-Миллса?

С другой стороны, мы, безусловно, ожидаем, что квантование любого функционала действия типа Янга-Миллса дает что-то, что удовлетворяет аксиомам КТП. Хотя в течение долгого времени не было хорошего предложения, как продемонстрировать это, Fredenhagen et al. совсем недавно обсуждали, как все стандартные методы пертурбативной КТП служат для обеспечения (пертурбативных) конструкций локальных сетей наблюдаемых. Ссылки собраны здесь , см. в частности последнюю там по пертурбативному построению локальных сетей наблюдаемых для КЭД.

В связи с этим, относительно комментария Келли, следует помнить, что также не полностью решена конструкция примеров калибровочной теории в аксиоматической ТКТП . Можно ожидать, что конструкция Решетихина-Тураева+ для модулярной категории$\Omega G$-представления дают квантование теории Г-Черна-Саймонса, но я не знаю, было ли это полностью доказано. А для теории Черна-Саймонса как расширенной TQFT только недавно было сделано лишь частичное предложение для абелева случая FHLT . Наконец, заметьте также, что сюда могут быть включены неконечные степени свободы, если перейти к некомпактным кобордизмам (см. конец Лурье ), которые в 2-мерном пространстве представляют собой « ТКТП », содержащие все 2-мерные модели ТКТП, которые физики заботятся, например, об А-модели и В-модели.

Относительно комментария Моше: известная двойственность между калибровочными и некалибровочными теориями обычно связана со сдвигом в измерении. Это, казалось бы, по-прежнему позволяет задать вопрос, является ли сеть в фиксированном измерении сетью теории типа Янга-Миллса.

Но даже если окажется, что КТП типа Янга-Миллса не имеют внутренней характеристики. должны иметь их важные инвариантные свойства. Например, по локальной сети наблюдаемых должна быть возможность сказать, является ли теория асимптотически свободной. Наверное?

Это скорее расширенный комментарий, а не ответ, полностью отдельный от того, что уже сказали Урс и Моше. Аксиомы АКФТ предназначены для описания математической модели физических наблюдаемых теории, в то время как калибровочная инвариантность OTOH является особенностью формулировки .теории, хотя, возможно, особенно удобной. Ваш и связанные с ним вопросы несколько запутаны тем, что одна физическая теория может иметь несколько эквивалентных, но различных формулировок, которые также могут иметь разные калибровочные симметрии. Одним из примеров этого явления является гравитация, рассмотрим формулировки метрики и системы координат, а другим примером, согласно Моше, является двойственность Зайберга. Другой сбивающий с толку фактор заключается в том, что некоторые физические теории известны только в формулировках, включающих калибровочные симметрии (автоматически делая такие формулировки «особенно удобными»), что, естественно, приводит к вашему второму вопросу. Однако следует помнить, что по замыслу формулировка датчика должна быть видна в рамках AQFT только в том случае, если ее можно обнаружить с помощью физических наблюдений.

Теперь, если честно, я действительно понятия не имею о том, каков уровень техники в АКФТ для выяснения того, когда данная сеть локальных алгебр наблюдаемых допускает «особенно удобную» формулировку, включающую калибровочную симметрию. Но я считаю, что ответить на этот вопрос будет сложно, пока понятие «особенно удобно» не станет математически точным. Я также не знаю, насколько продвинулся прогресс на этом фронте. Но я думаю, что прототип такого рода вопросов может быть проанализирован, хотя и несколько схематично, в упрощенном случае классической электродинамики.

Предположим, нам дана локальная сеть пуассоновских алгебр физических наблюдаемых (квантовый аналог будет иметь *-алгебры, но в остальном геометрия теории очень похожа). Первый шаг — каким-то образом признать, что эта сеть алгебр порождена полиномами в размытых полях,$\int f(F,x) g(x)$, куда$g(x)$является формой тестового тома, и$f(F,x)$является некоторой функцией$F$и его производные при$x$, с$F(x)$2-форма, удовлетворяющая уравнениям Максвелла$dF=0$а также$d({*}F)=0$. Поскольку нам была передана сеть алгебр с заданной структурой Пуассона, в качестве второго шага мы можем вычислить скобку Пуассона$\{F(x),F(y)\}=(\cdots)$. Ответом для электродинамики будет хорошо известный Паули-Жордан/Лихнерович/причинный пропагатор, который я не буду воспроизводить здесь. Грубо говоря, компоненты$F(x)$и выражение для пропагатора Паули-Жордана дают набор локальных «координат» на фазовом пространстве теории и выражение для тензора Пуассона на нем. На третьем шаге мы можем вычислить обратную форму тензора Пуассона, которая, если бы она существовала, была бы симплектической формой. Ответ для электродинамики хорошо известен, и важно то, что симплектическая форма не задается каким -либо локальным выражением, например$\Omega(\delta F_1,\delta F_2) = \int \omega(\delta F_1, \delta F_2, x)$, куда$\omega$является формой, зависящей только от значений$\delta F_{1,2}(x)$и их производные на$x$. Четвертый шаг будет состоять в том, чтобы задать вопрос, существует ли другой выбор локальных «координат» на фазовом пространстве, в котором симплектическая форма является локальной. Ответ снова хорошо известен: расширить фазовое пространство, введя поле 1-формы$A(x)$такой, что$F=dA$. Обратный образ симплектической формы в расширенное фазовое пространство теперь имеет локальное выражение$\Omega(\delta A_1,\delta A_2) = \int_\Sigma [{*}d(\delta A_1)(x)\wedge (\delta A_2)(x) - (1\leftrightarrow 2)]$, с точностью до некоторых постоянных множителей, с$\Sigma$некоторую поверхность Коши. Обратите внимание, что$\Omega$уже не симплектический на расширенном фазовом пространстве, а только предсимплектический, в то время как его проекция обратно в физическое фазовое пространство является. В качестве последнего шага можно попытаться решить обратную задачу вариационного исчисления и вывести принцип локального действия, воспроизводящий уравнения движения для$A$и пресимплектическая структура$\Omega$.

Позвольте мне подытожить. (1) Получить фундаментальные локальные поля и их уравнения движения. (2) Выразите тензор Пуассона и симплектическую форму через локальные поля. (3) Ввести новые поля, чтобы сделать выражение для (пред)симплектической формы локальным. (4) Получить принцип локального действия в новых полях. Обратите внимание, что калибровочная симметрия и все вопросы, связанные с ней, проявляются именно на шаге (3). По моему ограниченному пониманию, в литературе по АКФТ значительное количество времени уделено шагу (1), но, возможно, недостаточно времени шагам (2) и (3) даже для точной формулировки этих проблем.

Наконец, я должен подчеркнуть, что идея о том, что избыточные калибровочные степени свободы вводятся главным образом для того, чтобы придать локальную структуру (пре)симплектической структуре на фазовом пространстве, несколько спекулятивна. Но, кажется, она подходит к полевым теориям, с которыми я знаком, и я не смог выделить другую, но столь же конкурентоспособную.

А как насчет возможности того, что это неправильный вопрос и что в КТПТ есть и не должно быть места (sic) локальной калибровочной инвариантности?

Я предполагаю, что это зависит от того, как человек рассматривает AQFT. Можно просмотреть AQFT одним из двух способов:

• АКФТ как теория должна соответствовать природе.
• АКФТ как теория не обязана соответствовать природе.

Если АКПТ должна соответствовать природе, то она должна включать локальную калибровочную инвариантность, поскольку природа включает локальную калибровочную инвариантность. (Обратите внимание, что «включить» здесь может означать включение механизма, который при «низких энергиях» выглядит как локальная калибровочная инвариантность.)

Если АКПТ не обязана соответствовать природе, то она не обязана включать локальную калибровочную инвариантность.

Имея это в виду, я бы также добавил, что аксиоматическая ТКТП без проблем включает локальные калибровочные симметрии. На самом деле аксиоматические локальные калибровочные симметрии ТКТП настолько «сильны», что устраняют все локальные степени свободы.