Какие силы действуют на прищепку в космосе?

Question

Какие силы действуют на прищепку в космосе?

Мэтт

Допустим, прищепка моделируется как простая пружина кручения следующим образом.

Данный:

$p_1,\ p_2,\ p_3$ : точечные объекты одинаковой массы в двумерном пространстве.
Все объекты плавают в пространстве, т.е. центр масс не изменится.
Вовремявставлена торсионная пружина, так что он оказывает крутящий момент наи, с:
- $\theta$ : угол поворота от положения равновесия в радианах
- $\kappa$ : коэффициент кручения пружины
- $\tau = -\kappa \theta$ это крутящий момент, создаваемый пружиной

Вопрос: каковы результирующие силы на $p_1$ , $p_2$ и $p_3$ ?

Мой ответ: Поскольку все объекты имеют одинаковую массу, мы можем исключить массу из уравнения. F2 — сила, перпендикулярная $p_1,\ p_2$ величины $\dfrac{\tau }{ |p_1-p_2|}$ .

По третьему закону Ньютона F2' является силой, равной по величине и противоположной по направлению, что и F2 Аналогично для F3 и F3'

Пружина кручения в точке p1, создающая крутящий момент на точках p2 и p3

Мэтт

Я просто хотел бы добавить, что у меня нет физического образования. Я не знаю, правильный ли мой ответ, упускаю ли я какие-то входные переменные или есть какой-то закон физики, который я упускаю.

Джон Алексиу

Привет, попробуйте использовать математический синтаксис в своих сообщениях для лучшей читабельности. См. [?]кнопку помощи, когда вы редактируете сообщение.

Джон Алексиу

Хорошая проблема. Помните, что стержни для прищепок несут не только моменты, но и силы. По сути, это балки (без массы).

Мэтт

Поговорив с другом, я понял, что важно отметить, что этот вопрос не зависит от времени: меня интересуют только силы в момент времени t0.

Ответы (1)

Какие силы действуют на прищепку в космосе?

Я просто хотел бы добавить, что у меня нет физического образования. Я не знаю, правильный ли мой ответ, упускаю ли я какие-то входные переменные или есть какой-то закон физики, который я упускаю.
Привет, попробуйте использовать математический синтаксис в своих сообщениях для лучшей читабельности. См. [?]кнопку помощи, когда вы редактируете сообщение.
Хорошая проблема. Помните, что стержни для прищепок несут не только моменты, но и силы. По сути, это балки (без массы).
Поговорив с другом, я понял, что важно отметить, что этот вопрос не зависит от времени: меня интересуют только силы в момент времени t0.

Джон Алексиу · Answer 1

Если $\theta$ угол между плечами, смещенными от положения равновесия $\theta_0$ к $\Delta \theta$ и приложенный крутящий момент $\tau =-\kappa \Delta \theta$ , предполагая равные массы $m$ с изначально неподвижными частями.

Первым шагом является кинематика, тогда как ускорение 2и 3связано с ускорением 1и общим углом. Для упрощения имеем, что 1не ускоряется в горизонтальном направлении $\ddot{x}_1=0$ (как показано на рисунке ниже).

\begin{aligned} {\ddot{Икс}}_{2} & "=" {\ddot{Икс}}_{1} - ℓ потому что (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} & {\ddot{Икс}}_{3} & "=" {\ddot{Икс}}_{1} + ℓ потому что (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} \\ {\ddot{у}}_{2} & "=" {\ddot{у}}_{1} + ℓ грех (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} & {\ddot{у}}_{3} & "=" {\ddot{у}}_{1} + ℓ грех (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \ddot{x}_2 &= \ddot{x}_1 - \ell \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{ \ddot{\theta}}{2} & \ddot{x}_3 &= \ddot{x}_1 + \ell \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{ \ddot{\theta}}{2} \\ \ddot{y}_2 &= \ddot{y}_1 + \ell \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{\ddot{\theta}}{2} & \ddot{y}_3 &= \ddot{y}_1 + \ell \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{\ddot{\theta}}{2} \end{aligned}$

Теперь об уравнениях движения каждой части. Мы начнем с диаграмм свободного тела, чтобы суммировать силы, воздействующие на каждую часть.

\begin{aligned} - Ф р_{2} грех (\frac{θ}{2}) + Ф р_{3} грех (\frac{θ}{2}) + Ф н_{2} потому что (\frac{θ}{2}) + Ф н_{3} потому что (\frac{θ}{2}) & "=" м {\ddot{Икс}}_{1} "=" 0 \\ - Ф р_{2} потому что (\frac{θ}{2}) - Ф р_{3} потому что (\frac{θ}{2}) + Ф н_{2} грех (\frac{θ}{2}) + Ф н_{3} грех (\frac{θ}{2}) & "=" м {\ddot{у}}_{1} \end{aligned}

$\begin{aligned} -Fr_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fr_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & = m \ddot{x}_1 = 0 \\ -Fr_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - Fr_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= m \ddot{y}_1 \end{aligned}$

EOM выполняются в направлении вдоль руки

\begin{aligned} м {\ddot{Икс}}_{2} потому что (\frac{θ}{2}) - м {\ddot{у}}_{2} грех (\frac{θ}{2}) & "=" - Ф н_{2} \\ м {\ddot{у}}_{2} потому что (\frac{θ}{2}) + м {\ddot{Икс}}_{2} грех (\frac{θ}{2}) & "=" Ф р_{2} \\ 0 & "=" ℓ Ф н_{2} + т \end{aligned}

$\begin{aligned} m \ddot{x}_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - m \ddot{y}_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= -Fn_2 \\ m \ddot{y}_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + m \ddot{x}_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & = Fr_2 \\ 0 & =\ell Fn_2 + \tau \end{aligned}$ с

\Rightarrow F n_{2} = - \frac{τ}{ℓ}

$\Rightarrow Fn_2 =-\frac{\tau}{\ell}$ фото4

\begin{aligned} м {\ddot{Икс}}_{3} потому что (\frac{θ}{2}) + м {\ddot{у}}_{3} грех (\frac{θ}{2}) & "=" - Ф н_{3} \\ м {\ddot{у}}_{3} потому что (\frac{θ}{2}) - м {\ddot{Икс}}_{3} грех (\frac{θ}{2}) & "=" Ф р_{3} \\ 0 & "=" ℓ Ф н_{3} - т \end{aligned}

$\begin{aligned} m \ddot{x}_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + m \ddot{y}_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= -Fn_3 \\ m \ddot{y}_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - m \ddot{x}_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & = Fr_3 \\ 0 & =\ell Fn_3 - \tau \end{aligned}$ с

\Rightarrow F n_{3} = \frac{τ}{ℓ}

$\Rightarrow Fn_3 =\frac{\tau}{\ell}$

В совокупности все приведенные выше уравнения, подставленные в кинематику, представляют собой

\begin{aligned} - Ф н_{2} потому что (θ) + Ф р_{2} грех (θ) - 2 Ф н 3 & "=" м ℓ \frac{\ddot{θ}}{2} \\ Ф р_{2} потому что (θ) + Ф н_{2} грех (θ) + 2 Ф р_{3} & "=" 0 \\ - Ф н_{3} потому что (θ) - Ф р_{3} грех (θ) + 2 Ф н_{2} & "=" - м ℓ \frac{\ddot{θ}}{2} \\ Ф р_{3} потому что (θ) - Ф н_{3} грех (θ) + 2 Ф р_{2} & "=" 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} -Fn_2 \cos \left(\theta \right) + Fr_2 \sin \left(\theta \right) - 2 Fn3 &= m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2} \\ Fr_2 \cos \left(\theta \right) + Fn_2 \sin \left(\theta \right) + 2 Fr_3 &= 0 \\ - Fn_3 \cos \left(\theta\right) - Fr_3 \sin \left(\theta \right) + 2 Fn_2 &= - m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2} \\ Fr_3 \cos \left(\theta \right) - Fn_3 \sin \left(\theta \right) + 2 Fr_2 &= 0 \end{aligned}$

Вышеупомянутое решается с помощью

\frac{3 т (потому что θ - 2)}{ℓ ({грех}^{2} θ + 3)} "=" м ℓ \frac{\ddot{θ}}{2}

$\boxed{\frac{3 \tau (\cos\theta-2)}{\ell (\sin^2\theta+3)} = m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2}}$

и

\begin{aligned} Ф р_{2} & "=" \frac{т грех θ (2 - потому что θ)}{ℓ ({грех}^{2} θ + 3)} \\ Ф н_{2} & "=" - \frac{т}{ℓ} \\ Ф р_{3} & "=" \frac{т грех θ (2 - потому что θ)}{ℓ ({грех}^{2} θ + 3)} \\ Ф н_{3} & "=" \frac{т}{ℓ} \end{aligned}

$\begin{aligned} Fr_2 & = \frac{\tau \sin\theta ( 2-\cos\theta)}{\ell (\sin^2\theta+3)} \\ Fn_2 &= -\frac{\tau}{\ell} \\ Fr_3 &= \frac{\tau \sin\theta ( 2-\cos\theta)}{\ell (\sin^2\theta+3)} \\ Fn_3 &= \frac{\tau}{\ell} \end{aligned}$

Какие силы действуют на прищепку в космосе?

Мэтт

Мэтт

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Мэтт

Ответы (1)

Джон Алексиу

Почему напряжение в перетягивании каната не вдвое превышает показания весов? [дубликат]

Шкив и наклонная рампа [закрыто]

Расчет ускорения автомобиля

Энергия, запасенная весной [закрыто]

Пружинный баланс: какие будут показания? [дубликат]

Растяжение двух безмассовых пружин, соединенных вместе

Какой вес www необходим для удержания рычага в равновесии? [закрыто]

Есть ли натяжение в безмассовой пружине, соединяющей два свободно падающих тела в разных горизонтальных плоскостях?

Массовые точки модели Масса-пружина

Две сжатые пружины, поставленные друг против друга, подчиняются третьему закону Ньютона?