Какие симметричные состояния чистого кудита могут быть достигнуты в рамках локальных операций?

Это алгоритм вычисления однородных полиномиальных инвариантов в общем случае, однако без какой-либо попытки уменьшить сложность алгоритма. Основным необходимым компонентом алгоритма является возможность усреднения по мере Хаара группы локальных преобразований. В случае с кубитом это просто интегрирование по копиям SU(2). Но даже в более общих случаях компактных групп Ли эта задача возможна, но громоздка, см., например, следующую параметризацию SU(N) Бертини, Каччатори, Черкиаи, которую можно использовать для интегрирования.

Процедура следующая:

Сначала вычисляется функция Молиена группы локальных преобразований (страница Википедии описывает случай конечной группы, который можно обобщить на компактные группы):

$M(t) = \int \frac{d_H(g)}{det(1-tg)}$

Коэффициент$t^n$в расширении Тейлора$M(t)$есть число линейно независимых однородных инвариантов степени n.

Поскольку подынтегральная функция является функцией класса, интегрирование может быть выполнено на максимальном торе по формуле интегрирования Вейля.

Теперь для каждой степени строятся все возможные комбинации инавриантов младших степеней, и если это число не исчерпывает искомого числа из ряда Молиена, то дополнительные инварианты вычисляются путем усреднения мономов нужной степени. Эта операция включает в себя интегрирование по мере Хаара, которое не сводится к интегрированию на максимальном торе, что является наиболее сложным шагом в алгоритме. Эта операция повторяется до тех пор, пока не будет получено достаточное количество линейно независимых полиномов, после чего один переходит к следующей степени. Этот процесс продолжается до тех пор, пока общее число инвариантов не достигнет разности размерности векторного пространства и локальной группы симметрии.

Более практичные варианты этой процедуры использовались для построения полиномиальных инвариантов для частных случаев проблем запутывания, см., например, следующую работу : Grassl, Rotteler and Beth.

Мне кажется, что формализм стабилизатора дает ответ на ваш вопрос (см. раздел 3.1 quant-ph/0603226 для введения в формализм). Учитывая два состояния, вы просто берете группу стабилизаторов для этого двумерного подпространства полного гильбертова пространства, и они дадут вам такой набор инвариантов. Однако это, конечно, не имеет ничего общего с глобально симметричными операциями, которые вы рассматриваете, и может быть выполнено с любой парой состояний. Однако, учитывая, что вы удерживаетесь в пределах симметричного подпространства, это гарантирует, что эти стабилизаторы всегда будут иметь описание, в худшем случае полиномиальное по количеству локальных систем.

Если вы хотите пойти дальше и попытаться найти некоторый набор инвариантов, который однозначно идентифицирует состояния, эквивалентные этой форме глобально симметричной локальной операции, то вам не повезло. Это связано с тем, что набор состояний продукта, который является глобально симметричным, охватывает пространство симметричных состояний, и, следовательно, любое глобально симметричное состояние может быть записано как суперпозиция глобально симметричных разделимых состояний.

Другими словами, без фиксации состояний невозможно получить наблюдаемую, которая инвариантна между двумя состояниями, но изменяется в пространстве симметричных состояний. Таким образом, единственные существующие инварианты зависят только от симметрии состояний.

ОБНОВЛЕНИЕ: я заметил, что Норберт и я интерпретировали вопрос несколько иначе. Я сосредоточился на существовании наблюдаемых, которые имеют одинаковое значение для эквивалентных состояний LU. Это эффективно отвечает на вопрос, существует ли измерение, которое отличает эти состояния от других симметричных состояний. Статья, на которую ссылается Норберт, посвящена математической структуре состояний и не может быть проверена с помощью одной копии пары состояний. Я понятия не имею, какой сеттинг имел в виду Петр (изначально я думал, что это именно он, но ответ Норберта заставил меня переосмыслить эту позицию).

Кажется, этот вопрос рассматривается в этой статье:

http://arxiv.org/abs/1011.5229

(Редактировать: я только что заметил, что это, похоже, ограничено кубитами, поэтому, вероятно, это не отвечает на ваш вопрос...)

Из комментариев Петра к моему другому ответу кажется, что он ищет инвариант математического представления состояния, а не наблюдаемую, которая остается неизменной. В этом случае ответ сильно отличается, и поэтому я публикую новый ответ, а не заменяю старый (поскольку это означало бы его полное переписывание, а текущая версия может представлять интерес для некоторых людей).

Любая матрица плотности может быть записана как$\rho = \sum_k \alpha_k \sigma_k$, куда$\sigma_k=\bigotimes_i \sigma_{k_i}$а также$\{\sigma_{k_i}\}$образуют ортонормированный базис для эрмитовых матриц, соответствующий размерности подсистемы, и включает единичную матрицу. При подаче заявки на местные унитарные права вы получаете$\rho' = \big(\bigotimes_i U_i \big) \rho \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)$. Теперь, если вы рассмотрите, что происходит почленно, вы заметите, что каждый оператор$\sigma_k$отображается только на операторы одинакового веса (т. е. нетривиально работающие с одним и тем же числом подсистем). Я возьму$w_k = w(\sigma_k)$быть весовой функцией для каждого оператора$\sigma_k$. Итак, у нас есть$w(\sigma_k) = w\big(\big(\bigotimes_i U_i \big) \sigma_k \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)\big)$. Это тривиально верно, так как для каждой подсистемы, где$\sigma_k$в$\rho$действует как тождество (т.е. для каждого$i$такой, что$\sigma_{k_i}=\mathbb{I}$)$U_i$а также$U_i^\dagger$отменить, и поэтому преобразованный оператор также действует как идентификатор в этой подсистеме. И наоборот, если$\sigma_{k_i}\neq \mathbb{I}$тогда$U_i\sigma_{k_i}U_i^{\dagger}\neq \mathbb{I}$. Для этого есть довольно интуитивная причина: локальные операции не должны создавать нелокальные корреляции.

Теперь из этого должно быть ясно, что$\{\beta_w=\sum_{i:w(\sigma_i)=w} |\alpha_i |^2\}_{w=0}^n$является инвариантным, поскольку$U \sigma_k U^\dagger = \sum_j \gamma_{jk} \sigma_j$такой, что$\sum_j |\gamma_{jk}|^2 = 1$.

Это сохраняющаяся величина, не зависящая от симметрии, и зависит только от того факта, что все применяемые унитарии являются локальными, однако я считаю, что это именно то, что вам нужно. Как только вы вводите критерии симметричности состояний и операций, у вас появляются дополнительные критерии,$\alpha_i = \alpha_j$если$\sigma_i$можно получить из$\sigma_j$путем перестановки кудитов, и, следовательно,$|\alpha_i-\alpha_j|$также инвариантна для всех таких пар.

Этот ответ неполный, но он должен дать ответ почти для всех симметричных состояний ( т . е  . его достаточно для всех, кроме набора симметричных состояний, имеющих нулевую меру).

Симметричное подпространство натянуто на состояния произведения. Затем мы можем рассмотреть различные способы разложения конкретного симметричного состояния на симметричные произведения; в частности, если любой выбор разложения естественным образом порождает инвариант.

Жадный способ разложить симметричный$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi$состояния в симметричные продукты было бы просто искать симметричный продукт$\ket\phi\ket\phi\cdots\ket\phi$с которым$\ket\psi$имеет наибольшую величину перекрытия. Позволять$\ket{\phi_0}$— односпиновое состояние, удовлетворяющее этому, и

$$\def\bra#1{\langle#1|}\alpha_0 = \Bigl[\bra{\phi_0}\cdots\bra{\phi_0}\Bigr]\ket\psi$$ которое без ограничения общности положительно. С вероятностью 1 состояние $\ket{\phi_0}$уникален (в том смысле, что множество симметричных состояний, для которых оно не уникально, имеет нулевую меру). Позволять $\ket{\psi_1}$быть проекцией $\ket{\psi}$в ортодополнение $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$: это еще одно симметричное состояние. Итак, мы определяем $\ket{\phi_1}$быть (опять же с вероятностью 1, уникальным) состоянием с одним спином, таким что $\ket{\phi_1}^{\otimes n}$имеет максимальное совпадение с $\ket{\psi_1}$; пусть $\alpha_1$будь то перекрытие; и мы определяем $\ket{\psi_2}$быть проекцией $\ket{\psi}$на ортодополнение $\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\; \ket{\phi_1}^{\otimes n}\}$. И так далее.

Постоянно проецируя$\ket{\psi}$на ортодополнение отрезков все большего и большего множества симметричных произведений, мы обеспечиваем, чтобы результирующие проекции$\ket{\psi_j}$не будет иметь максимального перекрытия с каким-либо состоянием продукта, которое было раньше, или, в более общем смысле, которое может охватывать предшествующие симметричные продукты. Итак, на каждой итерации мы получаем односпиновое состояние$\ket{\phi_j}$такой, что$\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\ldots\,,\; \ket{\phi_j}^{\otimes n}\}$имеет размерность на единицу больше, чем в предыдущей итерации. В итоге мы получим набор симметричных произведений, которые если и не охватывают симметричное подпространство, то хотя бы содержат$\ket{\psi}$в их промежутке. Таким образом, мы получаем разложение

$$\ket{\psi} \;=\; \sum_{j = 0}^\ell \alpha_j \ket{\phi_j}^{\otimes n}$$ где последовательность $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$строго убывает. Назовем это разложением симметричного произведения $\ket{\psi}$. (Нетрудно обобщить это представление на такое, где состояния $\ket{\phi_0}$, $\ket{\phi_1}$и т. д. не уникальны; но для того, что будет дальше, будет важна уникальность.) Учитывая симметричное разложение произведения $\ket{\psi}$, то тривиально описать соответствующее представление для $U^{\otimes n} \ket{\psi}$: просто умножьте каждое из $\ket{\phi_j}$по $U$. И действительно, если вычислить $U\ket{\psi}$а затем определил его симметричное разложение произведения, разложение $$U^{\otimes n}\ket{\psi} = \sum_{j=0}^\ell \alpha_j \Bigl[ U\ket{\phi_j} \Bigr]^{\otimes n}$$ именно то, что вы найдете: $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$имеет максимальное совпадение с $\ket{\psi}$если и только если $[ U \ket{\phi_0} ]^{\otimes n}$имеет максимальное совпадение с $U^{\otimes n} \ket\psi$, и так далее. Итак, чтобы показать, что два симметричных состояния LU-эквивалентны, достаточно показать, что последовательность амплитуд $\alpha_j$одинаковы, и что последовательность односпиновых состояний $\ket{\phi_j}$связаны общим унитарным числом.

Последнюю часть проще всего сделать, найдя нормальную форму для равных состояний для последовательностей односпиновых состояний, связанных общей односпиновой унитарностью. Мы можем сделать это, найдя унитарное$T$который

1. карты$\ket{\phi_0}$к$\ket{0}$,
2. карты$\ket{\phi_1}$в состояние$\ket{\beta_1}$в течение$\ket{0}$а также$\ket{1}$, с$\bra{1}\beta_1\rangle \geqslant 0$,
3. и за каждый последующий$j > 1$, карты$\ket{\phi_j}$в какое-то состояние$\ket{\beta_j}$который находится в диапазоне стандартных базисных состояний$\ket{0}, \ldots, \ket{b_j}$за$b_j$как можно меньше, с$\bra{b_j}\beta_j\rangle \geqslant 0$если возможно. (для любого состояния$\ket{\phi_j}$который находится в промежутке между предыдущими состояниями$\ket{\phi_h}$, штат$\ket{\beta_j}$так же будет определяться состояниями$\ket{\beta_h}$за$h < j$, и в этом случае у нас нет выбора значения$\bra{b_j}\beta_j\rangle$.)

Тогда у нас есть унитарное такое, что$T \ket{\phi_j} = \ket{\beta_j}$; и для любых двух последовательностей состояний$\ket{\phi_j}$а также$U\ket{\phi_j}$, мы должны получить ту же последовательность состояний$\ket{\beta_j}$. Затем вы можете определить, что два симметричных состояния эквивалентны, если они вызывают одну и ту же последовательность амплитуд.$\alpha_j$и те же односпиновые состояния "нормальной формы"$\ket{\beta_j}$.

В случае, если нет единственного состояния$\ket{\phi_j}^{\otimes n}$который максимально пересекается с$\ket{\psi_j}$при построении разложения симметричного произведения проблема заключается в определении состояний нормальной формы$\ket{\beta_j}$. Однако до тех пор, пока государства$\ket{\phi_j}$уникальны, что происходит с мерой 1, у вас должен быть инвариант полиномиального размера (с точностью до ограничений точности) для определения того, являются ли два симметричных состояния одинаковыми.