Майораноподобное представление для смешанных симметричных состояний?

Обобщение майорановского представления на$N+1$размерные матрицы плотности могут быть выполнены следующим образом: (Под обобщением я понимаю представление матрицы плотности с помощью определенного числа точек на сфере Блоха (не обязательно независимых) + вектор поляризации, принадлежащий$N+1$симплекс размерной вероятности)

Сначала я рассмотрю общий случай (собственные значения без кратности), описанный в вопросе для полноты. Каждый$N+1$размерная матрица может быть записана как:

$\rho = \sum_{i=0}^{N}p_i\theta_i$

куда$p$вектор собственных значений$p\in \Delta^n$(симплекс вероятности в$\mathbb{R}^{n+1}$) а также$\theta_i$являются одномерными проекторами на собственные векторы:

$\theta_i^2=\theta_i$

удовлетворяющие ограничениям ортонормированности.

$tr(\theta_i\theta_j)=\delta_{ij}$

Представительство Майораны

$\mathrm{Sym}^N(\mathbb{C}P^1) \approx \mathbb{C}P^N$

позволяет выразить первый проектор в терминах$N$точек на сфере Блоха, а второй – в терминах$N-1$точки, потому что ограничения ортонормированности и третье с точки зрения$N-2$точки и т. д.

Количество измерений

$2 \times (0+1+ . . .+N) + N =(N+1)^2-1$

Случай собственного значения кратности$1<M<N$

В этом случае проектор на собственное пространство вырождения имеет размерность больше 1. Орбита этих проекторов есть грассманиан$Gr(M,N)$.

Чтобы выполнить майорановское представление этого проектора, мы сначала вложим грассманиан в комплексное проективное пространство с помощью вложения Плюкера :

$Gr(M,N) \rightarrow \mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$

а затем выполните карту Майораны.

Теперь и карта Майорана, и вложение Плюкера известны явно, что делает возможной всю конструкцию. В вырожденных случаях количество измерений меньше, чем у пространства всех матриц плотности.

Обновлять:

Это обновление предназначено для предоставления частичного ответа на комментарий Петра.

Примечание: я должен был отметить, что материал по классификации орбит матрицы плотности в соответствии с их вырождением собственных значений в этом ответе основан на геометрии квантовых состояний Бенгтссона и Жычковского (в основном в главе 8)

Случай с грассманианом$Gr(M,N)$(что является унитарной орбитой$N$матрицы размерной плотности с двумя различными собственными значениями, одно из которых имеет кратность $M

Жесткий$SU(2)$который действует на кубиты майорановского представления$\mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$является подгруппой группы изометрий$SU({N \choose M})$комплексного проективного пространства. Не следует априори ожидать, что это подгруппа группы изометрий$SU(N)$грассмана. Однако я проверил простейший случай$Gr(2,4) \rightarrow \mathbb{C}P^5$. Этот грассманиан задается соотношением Плюкера, заданным квадрикой$w \wedge w = 0$в однородных координатах$w = \sum_{i=j=1, i< j}^4w_{ij} e_i\wedge e_j$из$\mathbb{C}P^5$, ($e_i$составляют основу$\mathbb{C}^4$). После идентификации однородных координат$w$с однородными координатами майорановского представления такими, что как на действии$SU(2)$генератор$\sigma_3$диагонально, оказалось, что отношение Плюкера инвариантно относительно всего$SU(2)$действие. Другими словами, существует$SU(4)$трансформация$U$так что это действие может быть реализовано как:$U^{-1} \theta U$, куда$\theta$есть проектор на двумерное пространство вырождения матрицы плотности. Этот результат для меня новый (и очень интересный), и я не очень понимаю его причину. Я надеюсь, что это обобщает на все случаи.

Общий случай различных собственных значений:

В этом случае орбита квантовых состояний представляет собой многообразие флагов$Fl(N)$. В этом случае есть$N-1$различные сферы Блоха, соответствующие иерархии собственных векторов, как указано в основном ответе. Жесткий$SU(2)$действие на кубиты майорановского представления каждого из$n$-й собственный вектор реализуется как спин$\frac{N-n+1}{2}$представление на подпространстве, ортогональном вышестоящим по иерархии собственным значениям. Кроме того, будет произведено соответствующее действие на все нижние по иерархии собственные векторы. Я думаю, что для того, чтобы чувствовать себя комфортно с конструкцией, можно явно разработать трехмерный случай с многообразием флагов$Fl(3)$выражается как$\mathbb{C}P^1$связать$\mathbb{C}P^2$