Подсчет полных наборов взаимно несмещенных базисов, состоящих из состояний стабилизатора

Рассмотреть возможность Н кубиты. Есть много комплектаций 2 Н + 1 взаимно несмещенные базисы, образованные исключительно из состояний стабилизатора. Как много?

Каждый полный набор может быть построен следующим образом: 4 Н − 1 Операторы Паули (исключая тождество) в ( 2 Н + 1 ) наборы ( 2 Н − 1 ) взаимно коммутирующие операторы. Каждый набор коммутирующих Паули образует группу (если вы также включаете идентичность и «копии» Паулис с добавленными фазами). ± 1 , ± я ). Общие собственные состояния операторов в каждой такой группе образуют базис гильбертова пространства, причем базисы взаимно несмещены. Итак, вопрос в том, сколько различных таких разделов существует для Н кубиты. За Н знак равно 2 есть шесть разделов, для Н знак равно 3 их 960 (как я вычислил).

Приведенная выше конструкция (из-за Лоуренса и др., См. Ниже) может быть примером структуры, общей для других дискретных групп - разбиение элементов группы на (почти) непересекающиеся абелевы подгруппы, имеющие только единство общего. Кто-нибудь знает об этом?

Ссылка:

Взаимно несмещенные бинарные наблюдаемые множества на N кубитах — Джей Лоуренс, Каслав Брукнер, Антон Цайлингер, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0104012

Ответы (2)

Вот ответ, который должен работать. В настоящее время у меня нет доступа к Matlab, чтобы проверить это для чего-либо, кроме самых маленьких случаев, поэтому вам следует это сделать.

Во-первых, лично мне легче работать в сокращенном наборе 3 Н − 1 стабилизаторы для N кубитов (генерирующие из них другие). Полностью личное предпочтение, и здесь результат не меняется.

Итак, мы хотим разделить 3 Н − 1 возможных стабилизаторов в наборы 2 Н − 2 коммутирующих стабилизаторов и найти, сколько таких делений возможно.

Определять

α знак равно 2 Н − 2 = размер наборов

β знак равно 3 Н − 1 2 Н − 2 = количество комплектов.

Теперь мы выбираем наши наборы из доступных стабилизаторов. В первый раз мы можем выбрать что угодно - 3 Н − 1 выбор. Затем мы должны выбрать коммутирующий набор, к которому мы вернемся. После выбора набора есть ( 3 Н − 1 ) − α стабилизаторы остались. Мы можем выбрать любой для первого из следующего набора. И так далее. Однако для финального набора выбора нет: будет только α стабилизаторы остались. Таким образом, выбор для первой записи каждого набора:

Ф знак равно ∏ к знак равно 0 β − 2 ( 3 Н − 1 ) − α к

Теперь, чтобы выбрать каждый набор. В среднем половина стабилизаторов, оставшихся на выбор, будет коммутироваться с любым из них. Так что, выбрав второй, подойдет половина остатка. Итак, для первого набора имеем ( ( 3 Н − 1 ) − 1 ) / 2 выбор. Следующий выбор должен коммутировать с обоими предыдущими, поэтому мы имеем ( ( 3 Н − 1 ) − 2 ) / 2 2 выбор. И так далее. Для следующего набора мы начинаем с ( 3 Н − 1 ) − ( α + 1 ) остальные стабилизаторы подобрать второй вход. Таким образом, варианты выбора наборов

С знак равно ∏ м знак равно 1 β ∏ я знак равно 1 α − 1 ( 3 Н − ( α м + 1 ) − я ) 2 я + 1 )

Таким образом, количество возможных разделов равно Ф . С разделить на количество возможных способов перестановки внутри наборов x количество наборов (PR) и количество способов перестановки самих наборов (PC):

п р знак равно β . α !

п С знак равно β !

Таким образом, количество разделов Ф . С п р . п С

Спасибо, что подумали над этой проблемой, но я потерялся в самом начале вашего аргумента. Если вы хотите работать с операторами Паули, которые исключают идентичность на любом кубите, должны быть 3 Н операторы, а не 3 Н − 1 . Возможно, лучше следить за набором образующих каждой абелевой группы, есть Н таких операторов в каждом наборе. Также количество наборов должно соответствовать максимальному количеству Взаимно несмещенных баз, поэтому должно быть 2 Н + 1 наборы, а не β как вы утверждаете выше.
Сокращенный набор - это тот, который исключает все расширения Pauli-Y, поскольку они могут быть получены путем перемножения некоторых оставшихся стабилизаторов. Это просто способ сократить до всех независимых стабилизаторов. Таким же образом вы можете получить дополнительные наборы для MUB из сокращенных наборов с помощью соответствующего умножения. Поскольку вопрос был о количестве разделов, а не о количестве наборов, это сокращенное представление подходит. Любой набор можно расширить, чтобы получить все соответствующие ему MUB.
Я согласен, что можно использовать только X и Z. Однако количество наборов должно быть точно 2 Н − 1 , так как это количество необходимых MUB. Обратите внимание, что количество ваших наборов β может быть дробным! Более того, вы утверждаете, что для выбора стабилизаторов в каждом наборе достаточно выбрать стабилизаторы, коммутирующие с ранее выбранными в наборе; к сожалению этого недостаточно. Если вы выбираете стабилизаторы только с этой целью, вы можете загнать себя в угол, так как может оказаться невозможным разделить оставшиеся операторы на коммутирующие наборы. В справочнике есть полезные, явные примеры.
Извините за ошибку в предыдущем комментарии, количество комплектов должно быть 2 Н + 1 . Итак, дело в том, что если вы небрежно выберете свои базы, вы можете оказаться в ситуации, когда оставшиеся операторы не могут быть разделены, как хотелось бы. Таким образом, задача представляется сложной комбинаторной задачей, а не простой задачей перечисления.
Вышеупомянутый аргумент использует комбинаторику «закрашивания в угол» - по мере того, как оставшееся число становится меньше, элементы в S начинают становиться дробными, показывая, какая часть предыдущих комбинаций действительна. Вы можете запустить этот аргумент с помощью 4 Н − 1 вместо 3 Н − 1 , а также 2 Н − 1 , 2 Н + 1 вместо α , β если хочешь.

Для конечномерных систем R. Buniy и T Kephart в 1012.2630 quant-ph предоставляют инструмент для определения набора классов эквивалентности для состояний запутанности на основе их алгебраических свойств. Ваш ответ должен быть там.

Подсчет полных наборов взаимно несмещенных базисов, состоящих из состояний стабилизатора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v