Импульс является котангенсным вектором?

I) Отказ от ответственности: в этом ответе мы будем использовать (традиционное) физическое определение тензоров с использованием индексов и их свойств преобразования при преобразованиях координат. Кроме того, уменьшим зависимость от времени$t$для простоты.

II) Пусть многообразие$Q$быть конфигурационным пространством . Лагранжиан$L:TQ\to \mathbb{R}$преобразуется как скаляр

$$L~~\longrightarrow~~ L^{\prime}~=~L, \tag{1}$$

скорость$v^i$преобразуется как вектор

$$v^i~~\longrightarrow~~ v^{\prime j}~=~\frac{\partial q^{\prime j}}{\partial q^i}v^i,\tag{2}$$

лагранжев канонический импульс

$$p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}\tag{3}$$

трансформируется как ковектор

$$p_i~~\longrightarrow~~ p^{\prime}_j~=~\frac{\partial q^i}{\partial q^{\prime j}}p_i,\tag{4}$$

при общих преобразованиях координат

$$q^i~\longrightarrow ~q^{\prime j}~=~ f^j(q)\tag{5}$$

в пространстве конфигурации$Q$. уравнение (4) следует из цепного правила.

III) Точка касательного расслоения имеет вид

$$(q,v)~\in~TQ,\qquad v~=~v^i \frac{\partial}{\partial q^i}.\tag{6}$$

Обратите внимание, что скорость$v$— независимая переменная, которая преобразуется как вектор (2) при общих преобразованиях координат (5) в конфигурационном пространстве$Q$.

IV) Лагранжев канонический импульс (3) можно рассматривать как сечение

$$TQ ~\ni~ (q,v) ~\stackrel{p}{\mapsto} ~(q,v; p_i\mathrm{d}q^i)~\in~T^{\ast}TQ \tag{7}$$

в комплекте$T^{\ast}TQ \to TQ$.

V) Наконец, давайте для полноты и сравнения упомянем гамильтониан канонический импульс (также обозначаемый$p$) в случае, когда фазовое пространство$M$является кокасательным расслоением$M=T^{\ast}Q$. В случае$M=T^{\ast}Q$, гамильтонов канонический импульс$p$— независимая переменная, которая преобразуется как ковектор (4) при общих преобразованиях координат (5) в конфигурационном пространстве$Q$. Точка в касательном расслоении имеет вид

$$(q,p)~\in~T^{\ast}Q,\qquad p~=~p_i\mathrm{d}q^i.\tag{8}$$

Импульс является ковектором, потому что это градиент, а градиенты всегда ковариантны. Он делает то, что написано на банке. Впрочем, вы правы, это тонкий момент и на первый взгляд не особо понятен.

Для лагранжиана вида$L=T-V$с$V$независим от$\dot q$, канонический импульс определяется выражением

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial T}{\partial \dot q}.$$ Эта производная измеряет, насколько $T$изменения относительно небольших изменений в $\dot q$, когда эти изменения достаточно малы, чтобы линейное приближение к $T$достаточно. Это и есть линейность $p$как функционал $\dot q$.

Это значит, что$p$является функционалом над приращениями$\dot q$а не функционал над$\dot q$сам. Это, конечно, правильно: если у вас есть конфигурационное пространство$Q$, то имеет место лагранжева механика$M=TQ$, то есть пространство всех конфигураций$q$и соответствующие скорости$\dot q$. Гамильтонова механика, с другой стороны, имеет место в$T^*M$- пространство линейных форм над$TM$. Обратите внимание, что$TM=TTQ$есть именно пространство приращений скорости (вместе с самими скоростями как приращениями положения).