Значит ли это, что коммутатор оператора с гамильтонианом равен гамильтониану?

Означает ли это, что оператор$\hat O$(наблюдаемое) в чем-то особенное?

думаю значит нет такого$\hat O$.

Если$\hat O$соответствует наблюдаемой, мы требуем, чтобы собственные значения были действительными.

Позволять$|o\rangle$быть собственным набором$\hat O$с действительным собственным значением$o$:

$$\hat O |o\rangle = o |o\rangle$$

Теперь рассмотрим следующее

$$\hat O \hat H |o\rangle = (\hat H \hat O - [\hat H, \hat O])|o\rangle = \hat H o|o\rangle + 2i\hbar \hat H |o\rangle = (o + 2i\hbar)\hat H |o\rangle$$

Таким образом,$\hat H |o\rangle$является собственным набором$\hat O$с комплексным собственным значением$(o + 2i\hbar)$в противоречие с требованием, чтобы собственные значения$\hat O$являются реальными .

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ $\newcommand{bra}[1]{\left< #1 \right|}$ $\newcommand{bk}[2]{\left< #1 | #2 \right>}$ $\newcommand{bok}[3]{\left< #1| #2 |#3\right>}$

В основном это означает, что все собственные энергетические состояния имеют нулевое собственное значение энергии. UPS...

Позволять$\left| \psi \right>$быть нормализованным собственным энергетическим состоянием с собственным значением энергии$E_\psi$.

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi}=\bok{\psi}{HO-OH}{\psi}=E_\psi \left\{ \bok{\psi}{O}{\psi} - \bok{\psi}{O}{\psi}\right\}=0$$ С другой стороны:

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi} = \bok{\psi}{2i\hbar H}{\psi} = 2i\hbar E_\psi = 0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

$$\implies E_\psi=0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

Предположим, что группа пространства-времени включает расширения, которые расширяют или сжимают пространство. Точки в пространстве$x^{i}\in V_{3}$трансформироваться при небольшой дилатации$\epsilon$рядом с тождеством как,

$$\begin{equation} x'^{i}=x^{i}+\epsilon x^{i} \ . \end{equation}$$ Изменение координат, $$\begin{equation} \frac{d x^{i}}{d\epsilon}=x^{i} \end{equation}$$ В гамильтоновой формулировке генератором дилатаций будет некоторая функция фазового пространства $O$так что ПБ, $$\begin{equation} \frac{dx^{i}}{d\epsilon}=[x^{i},O]_{PB}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k}}\frac{\partial O}{\partial p^{k}}-\frac{\partial x^{i}}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=\frac{\partial O}{\partial p^{i}}=x^{i} \end{equation}$$ Интегрирование дает функцию фазового пространства как $$\begin{equation} O=p^{i}x^{i} \ . \end{equation}$$ Если группа пространства-времени - это теория относительности Галилея, гамильтониан равен $$\begin{equation} H=\frac{p^{i}p^{i}}{2m} \ . \end{equation}$$ Тогда интересующий PB $$\begin{equation} [H,O]_{PB}=-\frac{\partial H}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=-\frac{p^{k}p^{k}}{m}=-2H \ . \end{equation}$$ Теперь перейдем к квантовой механике, заменив функции фазового пространства операторами, $$\begin{equation} [\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H} \end{equation}$$ Это восстанавливает коммутатор в вопросе и показывает, что он имеет значение расширения галилеева пространства-времени.

Другие ответы утверждают, что$\hat{O}$не является эрмитовым или что его не существует. Однако,$\hat{O}$должно существовать и быть эрмитовым, потому что оно является генератором расширений в аффинном пространстве-времени, а все аффинные пространства — с понятием параллелизма — имеют расширения в дополнение к переносам (см. главу 13 книги Коксетера «Введение в геометрию»). Дилатации незнакомы, но можно настроить аналогичный коммутатор для наддува.$\hat{K}$и аргументы в других ответах будут повторяться снова и говорить, что повышения не являются эрмитовыми или не существуют. Итак, алгебра для повышения,

$$\begin{equation} [\hat{K},\hat{P}]=i\hat{H} \end{equation}$$ $$\begin{equation} [\hat{K},\hat{H}]=i\hat{P} \end{equation}$$ Вычитание, $$\begin{equation} [\hat{P}-\hat{H},\hat{K}]=i(\hat{P}-\hat{H}) \ . \end{equation}$$ Это то же самое, что $[\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H}$, по модулю числового коэффициента, с $\hat{H}\rightarrow\hat{P}-\hat{H}$и $\hat{O}\rightarrow \hat{K}$.