Каков физический смысл антикоммутатора в квантовой механике?

Извините, но анализ того, что означают коммутаторы (в приведенной ссылке), хотя и очень хорош, не дает интуиции и не обобщает на антикоммутаторы.

Коммутаторы , используемые для бозе-частиц, заставляют уравнение Клейна-Гордона иметь ограниченную энергию (необходимое физическое условие, которого нет у антикоммутаторов).

С другой стороны , антикоммутаторы заставляют уравнение Дирака (для фермионов) иметь ограниченную энергию (в отличие от коммутаторов), см . Теорему о связи спин-статистики .

В этом смысле антикоммутаторы являются точным аналогом коммутаторов для фермионов (но что на самом деле означают коммутаторы?). хороший и сложный вопрос, чтобы ответить интуитивно.

В некотором смысле коммутаторы (между наблюдаемыми) измеряют корреляцию наблюдаемых. Таким образом, это также мера (вдали от) одновременной диагонализации этих наблюдаемых.

Немного поработав над этим.

Допустим, у нас есть состояние$\psi$и две наблюдаемые (операторы)$A$,$B$. Когда эти операторы одновременно диагонализируются в данном представлении, они действуют на состояние$\psi$просто простым умножением на действительное (c-число) число (либо$a$, или же$b$), собственное значение каждого оператора (т.е.$A\psi=a\psi$,$B\psi=b\psi$).

Мы знаем, что для действительных чисел$a,b$это держит$ab-ba=0$ тождественность (или в операторной форме$(AB-BA)\psi=0$или же$\left[A,B\right]\psi=0$), поэтому выражение$AB-BA=\left[A,B\right]$( коммутатор ) становится мерой вдали от одновременной диагонализации (когда наблюдаемые коммутируют , коммутатор тождественно равен нулю и не равен нулю в любом другом случае ).

Другой способ увидеть выражение коммутатора (которое связано с предыдущим абзацем) - это пройти (бесконечно малый) путь из точки (состояния)$\psi$В точку$A \psi$а потом указать$BA \psi$а потом путь от$\psi$к$B \psi$к$AB \psi$. Если операторы коммутируют (одновременно диагонализуемы), два пути должны попасть в одно и то же конечное состояние (точку). Если не их различие, то оно является мерой корреляции (мерой от одновременной диагонализации).

Говоря о фермионах (принцип исключения Паули, переменные Грассмана$\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1$), коммутаторы должны быть соответствующим образом скорректированы (изменить знак минус), таким образом, они станут антикоммутаторами (чтобы измерить ту же величину).

Продолжая предыдущий ход мысли, используемое выражение было основано на том факте, что для действительных чисел (и, следовательно, для бозонных операторов) выражение$ab-ba$равно (тождественно) нулю.

Однако фермионные (грассмановские) переменные имеют другую алгебру ($\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1 \implies \theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1=0$, тождество ).

Так что же такое идентичное нулевое соотношение для бозонных операторов ($ab-ba$) необходимо настроить для фермионных операторов на идентичное нулевое соотношение $\theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1$, таким образом, стать антикоммутатором .

Некоррелированные наблюдаемые (либо бозоны, либо фермионы) коммутируют (или, соответственно, антикоммутируют), таким образом, являются независимыми и могут быть измерены (диагонализированы) одновременно с произвольной точностью. Если нет, то наблюдаемые коррелируют, таким образом, акт фиксации одного наблюдаемого изменяет другой наблюдаемый, делая невозможным одновременное (произвольное) измерение/манипулирование обоими.

PS. Посмотрите, как предыдущий анализ можно обобщить на другую произвольную алгебру (основанную на тождественности нулевых соотношений), на случай, если в будущем появится другой тип частиц, имеющих другую алгебру для своих собственных значений.

Коммутаторы и антикоммутаторы широко распространены в квантовой механике, поэтому на самом деле не следует ограничиваться интерпретацией, представленной в ОП. Однако есть один специфический аспект антикоммутаторов, который может добавить сюда немного ясности: антикоммутаторы часто используются для корреляционных функций.

Действительно, среднее значение произведения двух квантовых операторов зависит от порядка их умножения. Однако мы всегда можем написать:

$$AB = \frac{1}{2}[A, B]+\frac{1}{2}\{A, B\},\\ BA = \frac{1}{2}[A, B]-\frac{1}{2}\{A, B\}.$$ В классическом пределе коммутатор обращается в нуль, а антикоммутатор просто становится зависимым от порядка входящих в него величин. Поэтому часто определяют квантовые эквиваленты корреляционных функций как: $$K_{AB}=\left\langle \frac{1}{2}\{A, B\}\right\rangle.$$

В качестве примера см. использование антикоммутатора, см. [квантовую версию теоремы флуктуационной диссипации] [1], где

$$S_{x}(\omega)+S_{x}(-\omega)=\int dt e^{i\omega t}\left\langle \frac{1}{2}\{x(t), x(0)\}\right\rangle$$ (Я пытаюсь адаптироваться к обозначениям статьи в Википедии, но в последнем уравнении могут быть ошибки.)