Каков физический смысл утверждения, что «фотоны не имеют положения»?

Мы могли бы провести вечность, играя в «что за крот» со всеми сбивающими с толку/запутанными утверждениями, которые продолжают появляться по этому вопросу на форумах PhysicsForums и в других местах. Вместо этого я предложу общую точку зрения, которая, по крайней мере для меня, прояснила ситуацию.

Я начну с обзора общего отрицательного результата, который применим ко всем релятивистским КТП, а не только к фотонам. Затем я объясню, как можно было бы ответить на аналогичный вопрос для электронов , и, наконец, распространим ответ на фотоны. Причина выполнения этого в таком порядке, вероятно, будет ясна задним числом.

Общий отрицательный результат

Во-первых, вот обзор фундаментального отрицательного результата для релятивистской КТП в плоском пространстве-времени:

• В КТП наблюдаемые связаны с областями пространства-времени (или просто пространством в картине Шредингера). Эта ассоциация является частью определения любой данной QFT.

• В релятивистской КТП теорема Ри-Шлидера подразумевает, что наблюдаемая, локализованная в ограниченной области пространства-времени, не может аннулировать вакуумное состояние. Интуитивно это связано с тем, что состояние вакуума запутано относительно местоположения.

• Частицы определяются относительно состояния вакуума. По определению, в вакуумном состоянии нет частиц, поэтому теорема Ри-Шлидера подразумевает, что наблюдаемая, представляющая количество частиц в данной ограниченной области пространства-времени, не может существовать: если наблюдаемая локализована в ограниченной области пространства-времени, то она может существовать. не всегда регистрируют ноль частиц в вакуумном состоянии.

Это отрицательный результат, и он очень общий. Это не ограничивается безмассовыми частицами или частицами спиральности.$\geq 1$. Например, это относится и к электронам. Неудачный результат говорит о том, что мы не можем удовлетворить оба требования: в релятивистской КТП у нас не может быть детектора, который удовлетворял бы обоим требованиям.

• совершенно надежный,

• локализуется в строго ограниченной области.

Но вот важный вопрос: насколько близко мы можем подойти к удовлетворению обоих этих требований?

Разминка: электроны

Сначала рассмотрим КТП невзаимодействующих электронов с лагранжианом$L\sim \overline\psi(i\gamma\partial+m)\psi$. Вопрос о фотонах, и я перейду к этому, но давайте начнем с электронов, потому что тогда мы можем использовать массу электрона.$m$определить масштаб длины$\hbar/mc$с которыми можно сравнивать другие величины.

Чтобы построить наблюдаемые, которые считают электроны, мы можем использовать операторы рождения/уничтожения. Мы знаем из QFT$101$как построить операторы рождения/уничтожения из операторов поля Дирака$\psi(x)$, и мы знаем, что эта связь нелокальна (и нелокализуема) из-за функции$\omega(\vec p) = (\vec p^2+m^2)^{1/2}$в подынтегральном выражении, как и обещал Ри-Шлидер.

Однако для электронов с достаточно малым импульсом эта функция могла бы также быть$\omega\approx m$. Если мы заменим$\omega\to m$под интегралом, то связь между операторами рождения/уничтожения становится локальной. Выполнение этой замены меняет модель с релятивистской на нерелятивистскую, поэтому теорема Ри-Шлидера больше не применяется. Вот почему мы можем иметь наблюдаемые, учитывающие электроны, которые удовлетворяют обоим вышеуказанным требованиям в нерелятивистском приближении.

Другими словами: наблюдаемые, связанные с взаимно пространственноподобными областями, должны коммутировать друг с другом ( требование микропричинности ). Шкала длины$\hbar/mc$— это масштаб, на котором коммутаторы наших квазилокальных детекторов-наблюдаемых падают с увеличением пространственноподобного разделения. Поскольку ненулевые хвосты этих коммутаторов экспоненциально убывают с характерной длиной$\hbar/mc$, мы не заметим их в экспериментах с низкой энергией/низким разрешением по сравнению с$\hbar/mc$.

Вместо того, чтобы идти на компромисс со строгой локализацией, мы можем пойти на компромисс со строгой надежностью: мы можем построить наблюдаемые, локализованные в строго ограниченной области и почти аннулирующие состояние вакуума. Такая наблюдаемая представляет собой слегка шумящий детектор. Шум снова пренебрежимо мал для детекторов с низким разрешением, то есть для детекторов-наблюдаемых, область локализации которых много больше масштаба$\hbar/mc$.

Вот почему работает нерелятивистская квантовая механика нескольких частиц — для электронов.

Фотоны

Теперь рассмотрим КТП электромагнитного поля как таковую, которую я назову КЭМ. Все наблюдаемые в этой модели могут быть выражены в терминах операторов электрического и магнитного поля, и опять же мы знаем из КТП$101$как построить операторы рождения/уничтожения, которые определяют, что означает «фотон» в этой модели: они являются положительной/отрицательной частотной частью операторов поля. Эта связь явно нелокальна. Мы можем видеть это из явного выражения, но мы также можем предвидеть это в более общем виде: определение положительной/отрицательной частоты включает в себя бесконечное прошлое/будущее, и благодаря принципу временного среза это подразумевает доступ к произвольно большим пространственно-подобным областям.

В КЭМ нет характерной шкалы, аналогичной$\hbar/mc$, потому что$m=0$. Идеи, использованные выше для электронов, все еще работают, за исключением того, что отклонения от локализации и/или достоверности не падают экспоненциально с любым характерным масштабом. Вместо этого они падают, как сила расстояния.

Что касается этого вопроса, то это действительно единственная разница между случаем электрона и случаем фотона. Этой разницы достаточно, чтобы помешать нам построить модель для фотонов, аналогичную нерелятивистской квантовой механике для электронов, но недостаточно, чтобы помешать наблюдаемым фотонам быть локализованными и надежными для большинства практических целей. Чем больше мы допускаем область его локализации, тем более надежным (менее шумным) может быть детектор фотонов. Наше определение того, насколько хорошо-это-достаточно хорошо, должно быть основано на чем-то другом.помимо самого QEM, потому что QEM не имеет собственного характерного масштаба длины. Это не препятствие для относительно хорошо локализованных наблюдаемых фотонов на практике, потому что в реальном мире есть нечто большее, чем QEM.

Операторы позиций

Что такое позиционный оператор? Ничто из того, что я сказал выше, не относится к таким вещам. Вместо этого все, что я сказал выше, было выражено в терминах наблюдаемых, которые представляют детекторы частиц (или счетчики). Я сделал это, потому что отправной точкой была релятивистская КТП, а КТП выражается в терминах наблюдаемых, локализованных в ограниченных областях.

Собственно, так можно выразить и нерелятивистскую КМ. Начните с традиционной формулировки в терминах оператора положения$X$. (Для простоты я буду рассматривать только одно измерение.) Этот единственный оператор$X$на самом деле это просто удобный способ упаковки и маркировки группы взаимокоммутирующих проекционных операторов, а именно операторов$P(R)$которые проецируют волновую функцию$\Psi(x)$на часть с$x\in R$, вырезая детали с$x\notin R$. На причудливом языке коммутативная алгебра фон Неймана, порожденная$X$совпадает с коммутативной алгеброй фон Неймана, порожденной всеми$P(R)$s, так что помимо того, как вещи обозначаются «собственными значениями», они оба представляют одну и ту же наблюдаемую, насколько это касается правила Борна. Если мы посмотрим, как нерелятивистская КМ выводится из своих релятивистских корней, мы увидим, что$P(R)$s локализованы в пределах области$R$согласно определению «локализованного» в КТП — по крайней мере, в той мере, в какой справедливо нерелятивистское приближение. В этом смысле нерелятивистская одночастичная КМ, как и КТП, выражается в терминах наблюдаемых, связанных с ограниченными областями пространства. Традиционная формулировка одночастичной КМ скрывает это.

Вот в чем суть: когда мы говорим об операторе положения электрона в нерелятивистской модели, мы неявно говорим об операторах проектирования$P(R)$, которые связаны с ограниченными областями пространства. Оператор позиции$X$— это изящный способ упаковать все эти проекционные операторы и пометить их удобной пространственной координатой, чтобы мы могли использовать краткие статистические данные, такие как средние значения и стандартные отклонения, но вы не можете иметь$X$не имея также проекционных операторов$P(R)$, потому что существование первого подразумевает существование второго (через спектральную теорему или из-за причудливости алгебры фон Неймана, о которой я упоминал выше).

Итак... может ли у фотона быть оператор положения? Если под оператором положения мы подразумеваем что-то вроде операторов проектирования$P(R)$, которые одновременно (1) локализованы в строго ограниченной области и (2) строго надежны как «детекторы» вещей в этой области, то ответ отрицательный. Фотон не может иметь оператора положения по той же причине, по которой фотон не может иметь нерелятивистского приближения: для фотона нет характерной шкалы длины, аналогичной$\hbar/mc$с которым можно сравнить размер области локализации, не обращаясь ни к чему, кроме самого электромагнитного поля. Что мы можем сделать, так это использовать обычные операторы создания/уничтожения фотонов для создания наблюдаемых, обнаруживающих/подсчитывающих фотоны, которые не строго локализованы в какой-либо ограниченной области, но чьи «хвосты» пренебрежимо малы по сравнению со всем, что нас интересует (за пределами QEM). , если область квазилокализации достаточно велика.

Что такое физическое следствие?

Каково физическое следствие отсутствия оператора строгого положения? Реальные локализованные детекторы обязательно шумят. Чем более они локализованы, тем шумнее они должны быть. Ри-Шлидер гарантирует это как для электронов, так и для фотонов, главное отличие состоит в том, что для электронов эффект экспоненциально уменьшается с увеличением размера области локализации. Для фотонов она убывает только как степень размера.

Идея «у фотонов нет оператора положения» может иметь больше значений в зависимости от того, кого вы спросите.

Для меня это утверждение означает нечто очень конкретное: электромагнитное излучение не состоит из частиц, которые можно было бы наблюдать в какой-то точке пространства и которые можно было бы описать как$\psi(r_1,r_2,...r_N)$функция в смысле интерпретации Борна. Вместо этого само ЭМ-излучение находится повсюду и правильно описывается функцией трех пространственных координат - предметом изучения является ЭМ-поле, а не какие-то частицы света. Поле может быть числом c или числом q, но суть в том, что описываемая сущность является полем, а не набором частиц. Эта точка зрения означает, что в молекулах водорода нет реальных «частиц излучения», в отличие от электронов, которых два в каждой нейтральной молекуле водорода.

«Частицы света» или «фотоны» — несколько проблематичное слово, потому что за ним не стоит четкая общепринятая концепция. Создатель этого слова имел в виду нечто совершенно отличное от того, для чего мы используем этот термин после конца 1920-х годов. Сегодня часто это сокращение означает «кусок энергии».$hf$передается между веществом и излучением частоты$f$"; он может быть распределен в некоторой области пространства, но не локализован ни в одной точке пространства.

Конечно, можно перейти к простым примерам и говорить о таких вещах, как «1 фотон в моде (1,1,1,1), 2 фотона в моде (2,2,2,2)» как о состоянии ЭМ. поле в ящике, но это состояния всей системы, нельзя пойти и найти какие-то реальные вещи в какой-то точке пространства внутри ящика точнее, чем «в ящике».

Когда оптический эксперимент проводится с использованием лазерного луча, вполне уместно говорить о фотонах, находящихся в луче.

Обычное лазерное излучение хорошо описывается классической ЭМ волной с определенным вектором электрической напряженности и волновым вектором. Это означает, что в нем нет определенного количества фотонов, его лучше описать (если нужно) как когерентное состояние. Можно говорить о фотонах в суперпозиции, но тогда нет определенного количества фотонов какого-либо определенного вида. Фотоны там — математическая фикция, простирающаяся от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Мы также можем говорить об испускании фотона атомом, и в этом случае он, очевидно, локализован вблизи атома, когда происходит излучение.

Да, но эта область огромна, ее размер больше длины волны испускаемого излучения. Утверждение состоит в том, что нет смысла присваивать положение испускаемому излучению в пределах этой области.

Кроме того, в обычном анализе эксперимента с двумя щелями имеется, по крайней мере неявно, волновая функция фотона, которая успешно восстанавливает результат средней школы.

Да, это потому, что дифракцию на щели можно грубо проанализировать с помощью упрощенных моделей, таких как дифракция скалярного поля. Это не обязательно означает, что волновая функция фотонов является полезной концепцией в общих проблемах взаимодействия света и материи. Попробуйте описать спонтанное излучение в терминах «волновой функции фотона».

На самом деле, несмотря на отрицательный результат, для фотонов существует вектор положения; но она сингулярна почти в том же смысле, в каком сингулярны сферические координаты.

Лучше всего этот вопрос можно решить, взглянув на классификацию Вигнера, но в рамках симплектической геометрии, а не гильбертовых пространств.

Истинный смысл и значение теоремы о непроходимости состоит в том, что класс Вигнера, к которому принадлежат фотоны (которые я ниже буду называть спиральным подсемейством люксонов или «гелионов»), не имеет спин-орбитального разложения, так что обычные выражения для вращения и положения не могут быть разработаны для гелионов. Симплектическая геометрия для подкласса гелионов имеет много общего с симплектической геометрией для магнитных монополей (последняя обсуждается в LNP 107), за исключением того, что роли координат (q, p) меняются местами.

Как и во всех симплектических геометриях, координаты симплектического листа разбиваются на пары (q, p), а гелионы имеют 3 пары Дарбу, которые можно привести (с небольшими манипуляциями и корректировками) к обычной форме (𝐫,𝐏) для положения и импульса. Но в отличие от вектора положения Ньютона-Вигнера, 𝐫 является сингулярным, когда выражается как функции (𝐉,𝐊,𝐏,E) = (угловой момент, движущий момент, импульс, энергия). Он имеет координатную особенность указанного выше типа.

Классы Вигнера для группы Пуанкаре состоят из следующего:

(0) Homogeneous classes (unnamed by Wigner) (𝐏 ≡ 𝟎, E ≡ 0),

(1) Tardions (P² < αE²), where I will use α = 1/c² here and in the following,

(2) Luxons (P² = αE²), with 𝐏 ≢ 𝟎,

(3) Tachyons (P² > αE²).

где ≡ относится к условиям, которые выполняются на симплектическом слое, характеризующем данное представление,

(Большая часть того, что я описываю здесь и далее, между прочим, также применима и к нерелятивистской теории, если принять α = 0; за исключением того, что люксоны и тахионы сливаются в одно безымянное семейство: представления массы 0 для группы Баргмана - класс я назвал "Синхроны". Я также придумал термин "Вакуон" для класса (0).)

Во всех классах есть два инварианта:

m² = M² − αP² = constant: mass shell constraint,

W² − αW₀² = constant: "spin/helicity shell" constraint
(the latter name being for lack of a better term),

где для удобства я также буду использовать M = αE для «движущейся массы» здесь и далее; где

(W₀,𝐖) = (𝐏·𝐉, M𝐉 + 𝐏×𝐊)

— вектор Паули-Лубански. Для тардионов второй инвариант сводится к

W² − αW₀² = m² S² (tardions only)

где S — спин; и есть разложения для:

Angular Momentum (Spin-Orbit): 𝐉 = 𝐫×𝐏 + 𝐒

Moving Mass Moment: 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t + α𝐏×𝐒/(m + M)

где t может быть выбран произвольно, а 𝐫 соответствующим образом скорректирован. Это можно инвертировать, чтобы выразить (𝐫,𝐒) через (𝐉,𝐊), что дает результат, известный как вектор положения «Ньютона-Вигнера» для тардионов.

Для всех семейств (1), (2), (3) существует подсемейство, задаваемое (W₀,𝐖) = (0,𝟎) вектором Паули-Любанского, называемое «спин 0». Для этого класса тоже есть аналогичная декомпозиция:

Angular Momentum: 𝐉 = 𝐫×𝐏

Moving Mass Moment: 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t

и можно написать

𝐫 = 𝐊/M + 𝐯t, 𝐏 = M𝐯

Неопределенность в t — такая же, как и у тардионов, — характеризует траекторию мировой линии:

{ (𝐫,t) ∈ ℝ³×ℝ: 𝐫 = 𝐊/M + 𝐯t }.

Для этого подкласса 𝐖 ≡ 𝟎 и W₀ ≡ 0, что является вторичным ограничением.

Для квантованной формы симплектического разложения 𝐊 и M представлены операторами, которые не коммутируют друг с другом (их скобки равны [𝐊,M] = iħα𝐏), поэтому частное определяется только до «неоднозначности упорядочения факторов» - что здесь означает: до неопределенного кратного 𝐏, т. е. член − 𝐏t в выражении для 𝐊 уже получается автоматически, в квантованной форме классификации.

Для ненулевых тардионов со спином выражение для 𝐫 имеет вид 𝐫 = 𝐫₀ + 𝐯t, где 𝐫₀ равно:

The Newton-Wigner Position Vector: 𝐫₀ = 𝐊/M − α 𝐏×𝐒/(m(m + M)).

Выражение для 𝐒 есть

Spin Vector: 𝐒 = 𝐖/m − αW₀𝐏/(m(m + M))

Наиболее важные особенности классов и подклассов заключаются в том, что:
(а) каждый из них характеризуется инвариантами и применимыми к ним условиями,
(б) для подсемейств могут также встречаться вспомогательные инварианты,
(в) количество оставшихся свободных параметров после снятия ограничений из набора (𝐉,𝐊,𝐏,M) (или (𝐉,𝐊,𝐏,E)) четно, (d) оставшиеся свободные параметры объединяются в пары (q,
p) переменных, которые является существенным утверждением теоремы Дарбу,
(e) при квантовании эти пары дают пары Гейзенберга - и отсюда берутся соотношения Гейзенберга.

Для классов (1)–(3) системы со спином 0 имеют 4 ограничения (0 вектор Паули-Любански) и, таким образом, 6 свободных переменных, которые в совокупности дают вам 3 пары Гейзенберга (𝐫,𝐏). Дополнительный параметр t можно нормализовать до 0 ... как это обычно делается с вектором Ньютона-Вигнера ... и поэтому не имеет значения. (В квантованной версии симплектической классификации 𝐊/M − 𝐏t нормализуется к симметричному произведению ½(𝐊M⁻¹ + M⁻¹𝐊).)

Для класса (0) появляются вспомогательные инварианты K² − αJ² и 𝐉·𝐊, так что не более 4 параметров остаются свободными. Подклассы могут иметь 2 пары координат Дарбу («вакуум со вращением и моментом») или 0 («вакуум»); в последнем случае дополнительными ограничениями являются просто K² = αJ² и 𝐊 ≡ 𝟎.

Для класса (1) подклассы с ненулевым спином (т.е. где S² > 0) имеют 4 пары Дарбу. Четвертая пара соответствует азимутальной составляющей углового момента и долготе и обычно квантуется числом «m» для спиновых состояний.

Я не буду подробно описывать класс (3), так как это беспорядок. Все спиновые ненулевые подсемейства имеют 4 пары Дарбу.

Класс (2), Luxons, имеет 3 подкласса,

(a) spin 0: (𝐖, W₀) ≡ (𝟎, 0),

(b) helical: 𝐖 ∥ 𝐏, i.e. 𝐖×𝐏 ≡ 𝟎 (or equivalently, W² ≡ αW₀²), with 𝐖 ≢ 𝟎,

(c) general (or "continuous spin"), W² − αW₀² > 0

Заметим, что тождество 𝐖·𝐏 = MW₀ следует из определения вектора Паули-Любанского, поэтому из ограничения M² = αP² должно следовать, что W² − αW₀² ≥ 0. Равенство может иметь место только в том случае, если 𝐖 ∥ 𝐏, поэтому ограничения 𝐖×𝐏 ≡ 𝟎 и W² ≡ αW₀² эквивалентны для Люксонов.

Наиболее важными свойствами этих подклассов являются следующие:
(а) подкласс со спином 0 имеет только 3 пары Дарбу, которые могут быть представлены как (𝐫,𝐏),
(б₀) спиральность (т.е. компонента 𝐉, параллельная 𝐏) является вспомогательный инвариант для спирального подкласса,
(b₁) спиральный подкласс, следовательно, также имеет только 3 пары Дарбу (!),
(c) непрерывный класс спинов имеет 4 пары Дарбу, и они не представлены никаким разложением спин-орбиты (! !).

Фотоны относятся к спиральному подсемейству. То же самое верно для всех фундаментальных частиц... в их истинно безмассовых состояниях до того, как они обретут видимость массы в результате взаимодействия с бозоном Хиггса. Причина этого в том, что слабый ядерный заряд кратен левой спиральности вещества и правой спиральности антивещества и, в силу того, что он является зарядом, должен быть прежде всего инвариантным свойством частицы, а значит , частицы могут быть только гелионы или спин 0. Вот почему для электрослабой теории требуется механизм Хиггса.

Для спирального подсемейства не существует спин-орбитального разложения как такового просто потому, что существует только 3 пары Дарбу, а не 4. Спиральность фотона — это не спин! Классически это соответствует тому факту (как неоднократно указывал Хель), что свободное электромагнитное поле не имеет спинового тока и представляет собой симметричный тензор напряжений. Для взаимодействующего электромагнитного поля (то есть поля в среде) спиновый ток будет пропорционален 𝐃×𝐄 + 𝐁×𝐇, который отличен от нуля только в том случае, если определяющие законы для (𝐃,𝐁) против (𝐄,𝐇) ... или (𝐄,𝐁) по сравнению с (𝐃,𝐇) ... неизотропны.

Для электромагнитных полей внутри среды (например, воды) свет движется медленнее, чем скорость света в вакууме, поэтому соответствующие одетые кванты попадут в класс тардионов и будут иметь спин-орбитальные разложения. В квантованной версии этого, вероятно, можно было бы представить такие «поля внутри сред» эффективными лагранжианами, интегрируя внешние моды, составляющие среду, и одетые фотоны приобрели бы - в дополнение к двум значениям m = ±1, которые получаются спиральности - дополнительная мода при m = 0 и одетые фотоны "приобрели бы массу". Это напрямую связано с тем самым явлением в физике твердого тела, которое вдохновило идею самого механизма Хиггса.

Вопрос, который вы задаете: как насчет спирального подсемейства? Поскольку существует 3 пары Дарбу, то они допускают квантование, в котором есть 3 пары Гейзенберга, несмотря на так называемую теорему о запрете. На самом деле это говорит о том, что не существует спин-орбитального разложения и аналога позиционного оператора Ньютона-Вигнера, который можно вывести таким образом.

Однако оператор положения существует просто в силу того, что симплектическое представление имеет 3 пары координат Дарбу! Ситуация, как и при отображении координат сферы, заключается в том, что в какой-то момент координаты станут сингулярными.

Сфера не допускает на ней глобально отличной от нуля линейно независимой пары векторных полей. Аналогичная ситуация возникает с симплектической геометрией, характеризующей гелионы. В литературе отмечается сходство его симплектической геометрии с магнитным монополем. Ситуация аналогична, за исключением обращения (q,p).

Чтобы записать позиционный оператор, вы можете начать с простой записи разложения, аналогичного разложению «спин-спираль» для тардионов:

𝐉 = 𝐫×𝐏 + η𝐏/M, 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t ⇒ W₀ = ηP²/M, 𝐖 = η𝐏

спиральность ηP/M = ηc.

Это действительно работает, за исключением того, что соотношения 𝐫-𝐫 в скобках Пуассона приобретают дефицит, пропорциональный η. Можно скорректировать определение 𝐫, чтобы устранить этот дефицит, в результате чего получится правильный набор пар Гейзенберга для (𝐫,𝐏), но выражение для 𝐫 будет сингулярным в компонентах 𝐉 и 𝐊. Это неопределенность координат, подобная той, которую имеют сферические координаты (r, θ, φ) на полюсах, когда они выражены как функции декартовых координат (x, y, z).

Хотите посмотреть, что это такое? (Жевать удила, после всех этих долгих дискуссий, хм?) Должен ли я сказать вам? (Дразнить, дразнить!) Нет, думаю, я закончу ответ здесь и оставлю его висеть...

Ну, по второму размышлению...

Они где-то в моих заметках, и я должен посмотреть и проверить (и внимательно просмотреть).

Вот. Единого решения нет. Вместо этого вам нужно выбрать единичный вектор 𝐧. Тогда вы можете записать разложение:

𝐉 = 𝐫×𝐏 + ηP²/M 𝐧×𝐏×𝐧/|𝐧×𝐏|², 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t + η 𝐧·𝐏 𝐧×𝐏/|𝐧×𝐏|².

Это получается путем взятия нескорректированного 𝐫 и внесения корректировки (𝐉,𝐊) → (𝐉 + δ𝐫 × 𝐏, 𝐊 + M δ𝐫) для подходящего δ𝐫, который фиксирует дефицит в скобках 𝐫-𝐫, сохраняя при этом (W₀, 𝐖).

Представление становится сингулярным в направлениях 𝐏 ∥ 𝐧, поэтому вам нужен второй 𝐧-вектор, чтобы покрыть эту область симплектической геометрии. Для покрытия симплектической геометрии требуются как минимум две координатные карты и области.

Это та же ситуация, что и с магнитными монополями, и η играет роль, аналогичную произведению электромагнитного заряда.

Чтобы найти 𝐫, вам нужно решить приведенные выше соотношения для 𝐫, которые я оставлю вам и заинтересованному читателю.

Если вы изучите маленькую группу для этого подкласса, используя (𝛚,υ,𝛆,τ) для обозначения бесконечно малых (вращений, ускорений, пространственных перемещений, временных перемещений), вы обнаружите, что он включает

(1) rotations 𝛚 ∥ 𝐏,
i.e. rotations along the axis collinear with 𝐏 or "helical" rotations,

(2) spatial translations 𝛆 ∥ 𝐏
combined with time translations τ such that ε = cτ,

(3) transverse boosts/rotations, 𝛚,υ ⊥ 𝐏,
combined with a compensating translations 𝛆,
such that 𝛚 = (𝐏/P)×υ/c and 𝛆P² + η𝛚 = 𝟎.

Свойства (1) и (2) выделяют 𝐫 как мировую линию центра масс, в то время как свойство (3), которое представляет собой просто «нулевой импульс» (в сочетании с переводом, перпендикулярным как импульсу, так и 𝐏), показывает, что происходит компенсирующее перемещение мировой линии, под поперечным наддувом.

Как отмечалось в других ответах, первая задача - определить, что подразумевается под оператором позиции. Это помогает начать с чего-то более простого, чем QFT.

Понятие оператора положения в КМ происходит от понятия положения в классической физике. В классической физике это понятие четко определено: вы можете сказать, где находится яблоко, просто взглянув на него. Эта позиция имеет четко определенную эволюцию и не зависит от того, как вы ее измеряете.

В QM мы знаем, что оператор положения не обязательно должен иметь определенное значение в состоянии. В принципе, можно предвидеть что-то вроде этого: по мере того, как объекты, которые вы измеряете, становятся меньше, становится все труднее измерить положение, не нарушая его. Если вы не можете измерить что-то, не нарушая его ценности, как вы можете говорить, что это хорошо определено? Однако это ожидание не происходит. В КМ отсутствие определенного значения положения в некоторых (большинстве) состояний не связано с возмущением от измерения, а вместо этого является фундаментальным свойством нашего квантового мира. QM очень интересен, потому что это свойство срабатывает до того, как измерения станут слишком инвазивными. Рассмотрим конкретный пример: измерение положения нерелятивистского электрона. Мы можем сделать это, рассеяв на нем фотон и обнаружив, куда этот фотон пойдет.$h\nu$, мы можем локализовать электрон с точностью до$\Delta x= c/\nu$. Предположим, что электрон не получает релятивистского толчка от фотона, так что мы остаемся в нерелятивистской сфере. Это требует$h\nu\ll mc^2$. В течение времени измерения$1/\nu$электрон будет двигаться не более$c/\nu$, поэтому наша оценка погрешности измерения равна$\Delta x$действует. Эта ошибка$\Delta x= c/\nu\gg \frac{h}{mc}$, где правая часть сколь угодно мала в нерелятивистском пределе$c\to \infty$, и поэтому$\Delta x$можно сделать сколь угодно малым.

Таким образом, в нерелятивистской КМ позиционный оператор имеет квантово-механическую природу, но нет никаких практических проблем с его экспериментальным измерением. Важным моментом является то, что в измерениях есть универсальность: мы можем выполнять разные измерения положения, но все эти измерения можно математически описать оператором измерения положения.

В релятивистской КМ, также известной как КТП, у нас теперь есть обе проблемы: система является квантово-механической , и есть практические проблемы с экспериментальным измерением положения. В приведенном выше обсуждении мы можем использовать фотоны с энергиями$h\nu\sim mc^2$локализовать электрон в$\Delta x\sim\frac{h}{mc}$, а если перейти к более высокому$h\nu$, мы начнем создавать электрон-позитронные пары, и уже непонятно, что мы измеряем: скажем, если мы породили электрон-позитронную пару, положение какого электрона мы измеряем?

Здесь позвольте мне сделать шаг назад и обсудить формальную проблему определения положения в классической релятивистской теории с неразличимыми частицами. Поскольку частицы неразличимы, мы не можем требовать пространственного положения отдельной частицы как функции времени. Вместо этого единственный разумный вопрос, который следует задать, это «сколько мировых линий пересекают данный пространственно-подобный элемент поверхности?» Другими словами, мы хотим определить ток сохраняющегося числа частиц$J_N^\mu(x)$и измерьте его поток через пространственноподобную поверхность$S$($S$может иметь границу и быть маленьким),

$$N_S = \int_S J_N^\mu(x) dS_\mu.$$

Возвращаясь к КТП, проблема в том, что нет текущего числа частиц, поскольку число частиц не сохраняется при взаимодействиях. Можно определить что-то, что, на ваш вкус, «выглядит» как ток числа частиц, но оно не будет обладать свойством быть универсальной величиной, измеряемой различными экспериментами. Вместо этого каждый из разных экспериментов будет измерять свою собственную наблюдаемую, причем эти наблюдаемые, как мы надеемся, будут эквивалентны в нерелятивистском пределе.

Можно спросить, что происходит в свободных теориях, где можно представить определяющий оператор числа частиц. Ответ заключается в том, что в свободной теории ничего нельзя измерить, поскольку в ней нет взаимодействий. Вы можете написать любой наблюдаемый объект и объявить его оператором позиции, но он не будет связан с каким-либо экспериментом. Как только вы представляете, что проводите эксперимент, вы вводите взаимодействия, которые нарушают закон сохранения числа частиц. (Я игнорирую здесь двумерные интегрируемые КТП без образования частиц, которые, возможно, заслуживают отдельного обсуждения.)

Тем не менее, в КТП есть сохраняющиеся токи, например электрический ток, и их можно измерить. В частности, для сохраняющегося тока$J$можно рассматривать наблюдаемые формы

$$Q_S = \int_S J^\mu(x) dS_\mu.$$ Эти наблюдаемые достаточно универсальны, потому что калибровочные поля связаны с сохраняющимися токами, и вы можете планировать эксперименты, которые взаимодействуют с вашей системой через эти калибровочные поля. Например, при глубоконеупругом рассеянии в хорошем приближении измеряются матричные элементы $$\langle H|J^\mu(x)|X\rangle$$ где$H$является адронным состоянием и$X$различные конечные состояния, и$J$– электрический ток КХД. Это происходит из-за рассеяния электрона$H$. В ведущем порядке по постоянной тонкой структуры электрон излучает один виртуальный фотон, который, в свою очередь, соединяется с$J$КХД.

Введение

На самом деле это означает, что, в отличие от нерелятивистской квантовой механики, в релятивистских квантовых теориях поля (RQFT), таких как те, которые описывают фотоны, положение любой частицы, включая массивные частицы, такие как электроны, никогда не может быть определено . быть сколь угодно высокоинформативным. Это не означает, что вообще нет смысла говорить о позиции, вопреки тому, как это часто преподносится, но это имеет последствия для математического описания позиции.

И я думаю, что часть проблемы заключается в том, что существующий формализм, который часто беспрекословно передается по наследству, довольно устарел концептуально, и у нас есть гораздо лучшие способы говорить об этих вещах в современную эпоху. Этот пост, к лучшему или к худшему, пытается прорваться сквозь кое-что из этого унаследованного хлама и заканчивается вихревым «подвигом» классической физики в современную, в основном потому, что нам нужно соединиться со многими другими концепциями, чтобы действительно понять, что происходит здесь, и поставить его на прочную концептуальную основу. И я думаю, что это позор, потому что большая часть настоящей красоты этих теорий остается недооцененной из-за лечения, которое они так часто получают.

Чтобы понять это, нам нужно быть осторожными — проявлять Проницательность — в отношении ряда вещей:

1. что представляет собой «частица»,
2. что такое "позиция",
3. что значит иметь «информацию о» чем-то вроде положения частицы,
4. что такое «квантовое поле» и
5. как мы описываем «частицы» в терминах такой вещи, и как описание в терминах таковой влияет на пункты 1-3 выше.

Не будучи точным в отношении того, что означает каждое из этих утверждений, мы не можем правильно понять это утверждение, а также понять, что не так с различными подколками, данными ему из многих, по общему признанию, не очень качественных источников. Следовательно,

Что такое «частица»?

Во-первых, мы скажем, что на самом деле мы не можем определить такого рода понятия с точки зрения формальной математики, и мы не должны этого делать. Точно так же, как только в теоретической математике у нас есть определенные «примитивные понятия», как в аксиоматической евклидовой геометрии, у нас есть прямые линии или точки, или иначе, в теории множеств, множества рассматриваются как таковые. Они не обязательно «бессмысленны», хотя часто, и я думаю, очень бесполезно, утверждается, что именно так с ними следует обращаться, когда на самом деле нам нужно упражняться в нашей Проницательности, чтобы отделить «значение» от использования в математическом формализме. Скорее дело в том, что описание их значения выходит за пределы области математики — только с помощью математического формального языка.(«формальный язык» — это, грубо говоря, язык математических и логических символов), не существует «смысла» в том смысле, что мы не можем написать другое утверждение формального языка , говорящее, что это такое. Однако сказать, что оно «не имеет смысла» как абсолют, без должного внимания к этому определителю, неправильно — для нас значение , а не символы. Это все равно, что сказать, что слова на этой бумаге не имеют значения, когда ясно, что они имеют значение, или отдельные буквы.

Итак, «частица» здесь имеет значение. Это воображаемая сущность, которую мы используем в нашей модели — мы не знаем, существуют ли они «на самом деле», но они существуют в ментальной модели реальности, которую мы пытаемся создать. Частица — это очень крошечный объект — настолько маленький, что мы математически присвоили бы ему нулевой размер: он занимает пространство, равное точке.

Что такое "позиция"?

С «позицией» иметь дело немного сложнее — поскольку кажется, что, опять же, очень часто здесь происходит смешение явлений, которые мы будем обсуждать в отношении позиции, в конечном итоге каким-то образом имеют отношение к размеру, что неверно. Чтобы понять это, опыт работы с компьютерной графикой и дизайном и модификацией компьютерных игр, я думаю, действительно помогает. В компьютерных играх у вас есть «аватары» или «объекты», которые представляют собой абстрактные геометрические объекты. Они задаются файлом геометрии, который не зависит от их использования в игровом мире. Когда их помещают в такие, им даетсяпараметр, называемый позицией, который эффективно ссылается на точку в пространстве игрового мира и прикрепляет к этой точке копию объекта, описанного геометрией в файле геометрии. Важным моментом здесь является то, что, хотя позиция ссылается на одну точку, ее факт существования таковой не совпадает с тем, что объект имеет точечный характер по размеру : размер объекта определяется геометрией аватара - какова его ширина, если вы проведете (виртуальную) рулетку от одного конца до другого. Вместо этого у нас есть некоторая контрольная точка на аватаре, и мы перемещаем ее так, чтобы она совпадала с точкой положения.

В случае «частицы» и «позиции», взятых вместе, частица является «аватаром», состоящим только из одной геометрической точки. Таким образом, положение является параметром, который мы собираемся прикрепить к этому аватару, который говорит нам, где он появляется в нашей модели мира, которую мы имеем в нашей голове (которую можно перевести в реальную компьютерную модель, хотя КМ и особенно КТПФ, как известно, не поддаются обработке). действительно делаю на практике ). Обратите внимание, что все, что происходит с позицией, не имеет отношения к «размеру» частицы: он определяется геометрией аватара и не изменится, даже если мы вообще удалим параметр «положение».

(Если вам нужна математика, аватар — это набор точек, взятых из евклидова пространства с сохранением их метрических взаимосвязей, плюс назначенный центр или точка вращения. Я думаю, что использование концепции аватара также очень помогает, когда вы имеете дело, скажем, с классическая динамика твердого тела и координаты положения и ориентации. «Позиционирование» аватара можно рассматривать как опускание его в пространство и последующее применение геометрических преобразований, например перемещений и вращений, для выравнивания оси вращения по заданным координатам. Обычный формализм физики действительно, я думаю, довольно устарела, как было сказано.)

В классической механике положение определяется тройкой действительных чисел, например декартовыми координатами:$(x, y, z)$. Для расширенных аватаров у нас также есть ориентировочные координаты , например$(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$(да, я неравнодушен к углам Тейта-Брайана; судитесь со мной, но я считаю, что они более интуитивны, чем углы Эйлера). Для частицы нет ориентировочных координат, или они не важны, так как это одна точка.

Мы говорим, что такая спецификация позиции требует бесконечной информации , потому что, поскольку это действительные числа , они требуют бесконечного числа цифр, чтобы записать их точно в действительно произвольном общем случае. Таким образом, классическая механика — это «теория с бесконечной информацией».

Что означает «информация о» и что делает QM?

В квантовой механике сейчас происходит то, что мы меняем две вещи: во-первых, мы должны перейти от «объективного» к «субъективному» взгляду: мы больше не будем говорить о том, в каком положении находится частица «на самом деле». имеет, возможно, без нескольких ограниченных исключений, но вместо этого о том, какую информацию агент — некоторая сущность, способная взаимодействовать с внешней системой и получать информацию о ней — имеет о положении этой частицы. Таким образом, во Вселенной всегда есть как минимум дваэлементы в нем: объект и агент. Мы не можем принять несущественный «взгляд из ниоткуда» или «уловку Божьего глаза», если использовать терминологию, перекликающуюся с философом-феминисткой Донной Харауэй и, возможно, другими в том же духе. Наш «вид» исходит «откуда-то», и мы должны учитывать взаимодействие агента просмотра с его миром.

Следовательно, мы меньше говорим о положении частицы и вместо этого больше говорим о том, что агент знает об этом положении.

Когда мы делаем это, мы на самом деле приобретаем описательную гибкость в том смысле, что можем говорить о различных уровнях знания с помощью механизма байесовской теории вероятностей и теории информации, «вероятность как информация», «это из бита» (Джон Арчибальд Уилер), иск мой носки, это работает.

Сглаживание деталей приводит к тому, что мы отказываемся от обычного задания координат.$(x, y, z)$в пользу функции распределения вероятностей

$$\psi(x, y, z)$$

вместо. Более того, по другим причинам, которые не имеют непосредственного отношения к этому обсуждению, мы должны сделать эту функцию комплекснозначной , а не вещественнозначной функцией вероятности. Такая функция распределения может давать «плохую информацию» о позиции или «ограниченную информацию». Теперь вам может быть интересно, как мы можем назвать это ограниченным — я сказал, что это реальное значение, не так ли? Не требуется ли по-прежнему бесконечная информация, чтобы описать$\psi$, если не в смысле "даже больше"?

Конечно, но тогда мы должны снова провести различие между «реальностью» и нашей моделью .$\psi$не является информацией, которую мы можем материализовать как буквально принадлежащую чему-либо, точно так же, как не имеет смысла материализовать ее как реально существующее волновое поле, как это делают некоторые. Это модель информации агента, в которой много слов, чтобы говорить о малом, так сказать, много «сумасшедшего», потому что это лишнее словоблудие делает его очень полезным .в построении точной предсказательной теории. Но зачем вероятность специально фиксировать это понятие «меньшей информации»? Что ж, вероятность говорит нам больше о меньшем, потому что она говорит, что вместо одной альтернативы существует несколько «возможных» альтернатив с разным весом. Если я скажу, что уверен в чем-то только на 75%, это будет «менее информативно» для вас, чем если я скажу, что уверен на 100%. Точно так же для распределения вероятностей, чем оно «шире», охватывающее больше возможностей, тем оно менее информативно и чем «жестче», тем более информативно. (Точное «содержание информации» или, лучше сказать, «степень лишения информации» в ПД может быть количественно определено его энтропией Шеннона ,$H$.)

Квантовые поля

Теперь я, по общему признанию, собираюсь ускорить темп, поскольку я не хочу резюмировать всю физику в одном посте, но следующим шагом будет как можно быстрее перейти к квантовым полям. Видите ли, в более общем смысле мы не говорим исключительно о функциях вида, приведенного выше для отдельной частицы. Вместо этого мы говорим о математическом объекте, называемом вектором квантового состояния , который можно «декодировать», чтобы выявить распределения вероятностей многих различных параметров этой частицы, таких как не только ее положение, но и ее скорость, ориентация (если они у нас есть) и т. д. вперед. Эти вещи обозначаются такими символами, как$|\psi\rangle$, называемый «знаком кет». «Декодирование» его в позиции и скорости (лучше импульсы ) описываются операторами , которые действуют на эти векторы — в основном просто функциями, которые съедают вектор и создают другой.

В нерелятивистской КМ это означает наличие позиционного оператора $\hat{X}$и оператор момента (также называемый оператором импульса )$\hat{P}$.

Эти операторы «декодируют» положение и импульс, эффективно «помечая» векторы квантового состояния как представляющие случаи, когда у нас есть бесконечная информация о положении и импульсе соответственно. то есть существование позиционного оператора$\hat{X}$идет рука об руку с наличием случаев$|\mathbf{x}\rangle$где соответствующая волновая функция$\psi$представляет собой дельта-функцию с центром в$\mathbf{x}$. Они называются «собственными состояниями» положения, и декодирование происходит путем расширения вектора состояния на компоненты, которые обрабатываются базовым набором в стиле линейной алгебры.

Итак, этот формализм отлично работает, когда мы рассматриваем одну частицу, но он быстро становится плохим для работы с несколькими частицами - снова опуская детали, почему, я хочу добраться туда, ПОЖАЛУЙСТА... И из-за этого, Квантовая теория поля, по сути, является способом гораздо более четкого обращения с этими множественными частицами за счет использования математического устройства, называемого «квантовым полем».

По сути, это означает, что мы будем говорить о векторе состояния (информационном данном) не просто одной частицы или заданного числа частиц, а системы, которая может содержать любое число частиц, и, более того, к которой частицы могут относиться . быть добавлены или удалены. Вот как это работает. Начнем с вектора состояния вакуума$|0\rangle$, который, как говорят, не содержит частиц, который занимает достаточно богатое векторное пространство, чтобы сделать возможным все, что мы собираемся с ним делать. Затем мы провозглашаем существование оператора создания и уничтожения (функция вектор-вектор, помните?)$a^{\dagger}$и$a$. Существует один такой оператор для каждого вектора положения$\mathbf{x}$, например$a^{\dagger}(\mathbf{x})$. (В качестве альтернативы мы можем написать$a^{\dagger}(x, y, z)$чтобы сделать координаты положения явными.)

Теперь это$a^{\dagger}$эффективно действует как «кисть», которую мы можем использовать, чтобы «рисовать» частицы в квантовом поле. Если я подам заявку$a^{\dagger}(\mathbf{x})$к$|0\rangle$, он создает вектор с частицей с точным положением (т.е. как дельта-функция)$\mathbf{x}$. То есть вектор$|\phi_\mbox{1 particle}\rangle := a^{\dagger}(\mathbf{x}) |0\rangle$, представляет (информацию о том, что) квантовое поле удерживает одну частицу с точным положением$\mathbf{x}$, т.е. частица, волновая функция которой

$$\psi(x, y, z)$$

представляет собой дельта-всплеск на$\mathbf{x}$. Если бы мы обратились$a^{\dagger}$ опять же , т.е. сказать$a^{\dagger}(\mathbf{x}_2) |\phi_\mbox{1 particle}\rangle$, теперь мы создаем вторую частицу в квантовом поле с точным положением$\mathbf{x}_2$. Обратите внимание, что то, чем является частица, не изменилось : обозначение того, что$a^{\dagger}$created по-прежнему является местом для закрепления точечного аватара, только математика, которую мы используем, чтобы говорить об этом, и это то, о чем следует помнить в последних нескольких битах здесь.

Следовательно, вы должны отметить, что неправильно пытаться повторно применять$a^{\dagger}$попытаться получить частицу с недоопределенной позицией. Вместо этого, и чтобы действительно было ясно, почему я использую термин «кисть» для представления частицы с недоопределенным положением, мы должны наложить ряд одночастичных состояний, полученных при работе с$a^{\dagger}$ только один раз в вакууме, но в каждом возможном положении , что мы делаем с интегралом:

$$|\phi_\mbox{1 fuzzily-posed particle}\rangle := \int_{\mathbb{R}^3} [\psi(x, y, z)\ dV]\ a^{\dagger}(\mathbf{x}) |0\rangle$$

Именно так мы бы выразили$\psi$функции в терминах наложения собственных состояний положения в обычной квантовой механике для построения волновой функции, за исключением того, что теперь мы накладываем состояния квантового поля .

RQFT

Так что же делает релятивистская квантовая теория? Что ж, введение теории относительности приводит к чему-то смешному. Эффективно и интуитивно понятно, наша «острая» кисть$a^{\dagger}$который, вероятно, правильнее считать ручкой, становится толстым, вьющимся, действительно «настоящей» кистью: он сам может рисовать только состояния, в которых отсутствует информация о положении в указанном выше смысле, что они имеют нетривиальное распространение (и на самом деле бесконечный поддержки, т. е. они никогда полностью не обнуляются). Хуже того, состояния с неограниченной информацией о местоположении вообще не существуют! Та же техника рисования будет работать, но она станет своего рода «пухом пуха» и весовой функцией.$\psi$в интеграле теряет часть своего первоначального значения. Вселенная, по сути, имеет сильный верхний предел того, сколько информации может когда-либо существовать для определения положения частицы, а не только предел совместной информации о положении и импульсе вместе в соответствии с принципом Гейзенберга.

Это не означает, что положение не существует или что о нем бессмысленно даже говорить, так же как и тот факт, что положение является «нечетким» (отсутствует информация) в обычной квантовой механике. Это также не означает, что частица не имеет размера точки — помните, этот вопрос относится к «аватару», который мы выделили ранее, а не к тому, что мы используем для его позиционирования в пространстве, и есть эксперименты на этот счет, которые установили « размер» частиц как действительно очень малый (они работают не путем обнаружения , а скорее путем рассеяния частиц в далеко отработанной версии методов, впервые предложенных Резерфордом для изучения атомного ядра).

Тем не менее, это требует изменения математического описания такой «позиции» — помните, я только что сказал это до того, как мы описывали одночастичные позиции с помощью операторов , которые «помечали» точные состояния позиции? Ну, у нас их больше нет (если бы они были, то мы могли бы использовать их, чтобы сделать острый$a^{\dagger}$кисть, но мы не можем), поэтому первоначальная идея попытаться понять, что$\hat{X}$имелось в виду с точки зрения «собственных состояний», пропало! Операторный формализм, который мы использовали раньше, больше не работает, чтобы говорить о положении частиц! (Он по-прежнему работает другими способами , как выше, мы просто использовали «оператор рисования»$a^\dagger$, только не таким образом!) Вместо этого мы должны использовать другие инструменты для описания ситуации «что происходит в космосе», которые освещались в некоторых других сообщениях здесь, и пока я мог бы вникнуть в это, я теперь я немного подавлен, и, кроме того, я думаю, что этого достаточно, чтобы понять рассматриваемое утверждение и то, что оно означает.

(Более того, возможно, это говорит о том, что квантовую теорию поля лучше называть «квантовой механикой кисти» или «физикой художника» :) )

Отвечу как физик-экспериментатор. Это эксперимент с двумя щелями, по одному фотону за раз:

Однофотонная камера записывает фотоны из двойной щели, освещенной очень слабым лазерным светом. Слева направо: одиночный кадр, наложение 200, 1000 и 500000 кадров.

Экспериментально очевидно, что одиночные фотоны попадают на экран камеры, поэтому проблема оператора положения — это проблема математической теории, а не проблема экспериментального наблюдения.

Мое впечатление о квантовой теории поля состоит в том, что в общем случае поля, представляющие все частицы, на которые воздействуют операторы, создающие или уничтожающие частицы, представляют собой плосковолновые решения соответствующего уравнения квантовой механики: Дирака для фермионов, Клейна Гордона для бозонов, квантованного Максвелла для фотонов. . Поскольку хорошо известно, что плоские волны охватывают все пространство-время, я не думаю, что есть смысл в позиционных операторах, воздействующих на сами поля. Теория должна использовать волновой пакет для определения реальной частицы, локализованной в пространстве и времени, на самом деле.

В общем, я обнаружил, что большинство людей, склонных к теории, склонны рассматривать математику теории как порождающую реальный мир, а не наоборот, как математику, моделирующую реальный мир. Полезные модели QFT используют волновые пакеты для реальных частиц, которые нужно измерить в экспериментах, если необходимо определить вероятное местоположение частицы, как в эксперименте с двумя щелями, опять же, AFAIK.

После правильных комментариев я согласен с другими ответами на классический QM и оператор позиции. Мой ответ касается собственного времени, релятивистской КМ (КТП) и того, что у фотонов нет собственного времени. Однако вы можете определить аффинный параметр λ, который монотонно возрастает вдоль светоподобной мировой линии. Но, тем не менее, у фотонов нет собственного времени, и в релятивистской КМ (КТП) это (определяющее собственное состояние положения) нарушит случайность.

Как определить собственное время фотона?

Точка в пространстве Минковского — это временное и пространственное положение, называемое «событием», или иногда четырехвекторное положение, или четырехпозиционное, или 4-позиционное положение, описываемое в некоторой системе отсчета набором четырех координат: При рассмотрении физических явлений , дифференциальные уравнения возникают естественным образом; однако при рассмотрении пространственных и временных производных функций неясно, по отношению к какой системе отсчета берутся эти производные. Принято считать, что производные по времени берутся по собственному времени {\ displaystyle \ tau} \ tau . Поскольку собственное время является инвариантом, это гарантирует, что производная по собственному времени любого четырехвектора сама является четырехвектором.

https://en.wikipedia.org/wiki/Четыре вектора

ЕСЛИ у вас нет времени для фотонов, вы не можете использовать дифференциал четырехпозиционного вектора. Таким образом, вы не можете определить оператор положения для фотона.

Фотон – элементарная частица в СМ, квант ЭМ поля и излучения, точечный, без пространственной протяженности и субструктуры, силовой носитель ЭМ силы, безмассовый.

Можно излучать одиночные фотоны, поэтому я предполагаю, что вы спрашиваете об этом.

Как и все элементарные частицы, фотоны в настоящее время лучше всего объясняются квантовой механикой и демонстрируют корпускулярно-волновой дуализм, проявляя свойства как волн, так и частиц. Например, одиночный фотон может преломляться линзой и демонстрировать волновую интерференцию с самим собой, и он может вести себя как частица с определенным и конечным измеримым положением или импульсом, хотя и не и то, и другое одновременно, как согласно принципу неопределенности Гейзенберга. Волновые и квантовые свойства фотона — это два наблюдаемых аспекта одного и того же явления — они не могут быть описаны никакой механической моделью;[2] представление этого двойственного свойства света, которое предполагает, что определенные точки на волновом фронте являются местом сосредоточения энергии, — это невозможно. Кванты в световой волне не локализованы в пространстве.

https://en.wikipedia.org/wiki/Фотон

Допустим, существует консенсус относительно того, что такое фотон.

Давайте начнем разбираться в проблеме, почему у фотонов нет позиций, с понимания того, как фотоны могут создаваться и уничтожаться (потому что они могут иметь позицию только во время своего существования).

Фотоны испускаются во многих природных процессах. Например, когда заряд ускоряется, он испускает синхротронное излучение. При молекулярном, атомном или ядерном переходе на более низкий энергетический уровень будут излучаться фотоны различной энергии, начиная от радиоволн и заканчивая гамма-лучами. Фотоны также могут испускаться при аннигиляции частицы и соответствующей ей античастицы (например, электрон-позитронная аннигиляция).

Таким образом, в основном существует консенсус относительно того, как фотоны могут создаваться и уничтожаться:

1. эмиссия (создание)

2. поглощение (уничтожение)

Так что в принципе мы можем сказать, что по крайней мере существует консенсус относительно времени существования фотона.

Теперь очень важно понять, почему вообще был поднят этот вопрос. Когда у фотона есть положение? Когда он существует. Когда существует фотон? В какие сроки?

Это главное. Вопрос имеет смысл только в наших временных рамках (почему масса покоя и время воспринимаются иначе, чем у фотона).

Сейчас фотоны безмассовые, согласно СТО, у них нет системы отсчета. Нет смысла говорить о том, что видит фотон, путешествуя между испусканием и поглощением.

Возникает вопрос, почему фотоны не имеют положения, потому что в нашем временном масштабе мы движемся по пространственно-подобным и времениподобным мировым линиям (фотоны светоподобны).

Есть три случая:

1.spacelike, в данном случае это физическое расстояние между двумя точками в пространстве.

пространственноподобные кривые, выходящие за пределы светового конуса. Такие кривые могут описывать, например, длину физического объекта. Окружность цилиндра и длина стержня являются пространственноподобными кривыми.

2. Тимоподобные, они должны попадать в конусы, определяемые светоподобными конусами

времениподобные кривые со скоростью меньше скорости света. Эти кривые должны попадать в конус, определяемый светоподобными кривыми. В нашем определении выше: мировые линии — это времениподобные кривые в пространстве-времени.

3. Подобно свету, это то, что делают фотоны, они в основном перемещаются в пространстве-времени на расстояние 0 между испусканием и поглощением.

светоподобные кривые, имеющие в каждой точке скорость света. Они образуют конус в пространстве-времени, разделяя его на две части. Конус является трехмерным в пространстве-времени, он появляется как линия на чертежах с подавлением двух измерений и как конус на чертежах с подавлением одного пространственного измерения.

Теперь ваш вопрос в том, что мы, обладающие массой покоя, действительно живем по 1-й и 2-й мировым линиям. Согласно СТО мы не знаем 3. светоподобных мировых линий, по крайней мере, не знаем, как они будут выглядеть, поскольку говорить о каркасе фотона не имеет смысла.

Мировая линия (или мировая линия) объекта — это путь, который объект прослеживает в 4-мерном пространстве-времени. Это важное понятие в современной физике, особенно в теоретической физике.

https://en.wikipedia.org/wiki/World_line

Теперь вы спрашиваете, почему мы не можем определить положение фотона в пространстве (3D).

Правило Борна дает вероятность того, что измерение QM даст заданный результат.

В своей простейшей форме он утверждает, что плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пропорциональна квадрату величины волновой функции частицы в этой точке.

Таким образом, существует консенсус относительно того, какой должна быть позиция. Должна быть вероятность найти частицу в определенном положении в пространстве (3D).

Вот причины, по которым мы не можем определить положение фотона:

1. вы спрашиваете положение фотона (конечно, потому что мы живем в огромном мире, где мы испытываем время между испусканием и поглощением) в пространстве или времени, подобном мировой линии.

2. вы запрашиваете положение в пространстве (3D), а пространство непрерывно.

3. mwasurement, то есть наблюдение, что означает взаимодействие с фотоном, теперь вы хотите положение фотона на лету, то есть между испусканием и поглощением, а это возможно только при упругом и неупругом рассеянии

Фотон существует только на светоподобной мировой линии, где пространственно-временное расстояние между испусканием и поглощением равно 0. Это создает проблему с 1., когда вы запрашиваете положение фотона между этими двумя точками, которые разделены расстоянием ( 3D) только в нашем мире (где у нас есть масса покоя), но в мире фотонов у него нет такого промежуточного положения (или расстояния).

Вы запрашиваете позицию в пространстве (3D) в ткани пространства-времени, которая непрерывна, и вы пытаетесь смоделировать ее как дискретную, но на самом деле она непрерывна.

В квантовой механике принцип неопределенности (также известный как принцип неопределенности Гейзенберга) представляет собой любое из множества математических неравенств[1], утверждающих фундаментальный предел точности, с которой определенные пары физических свойств частицы, известные как дополнительные переменные или канонически могут быть известны сопряженные переменные, такие как положение x и импульс p.

https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle

Это означает, что мы можем попытаться ограничить фотон небольшим пространством. Относительно чего? Наш мир? Наши устройства? Какое бы измерение вы ни использовали, пространство-время непрерывно, и вы просите дискретное измерение.

Единственный способ измерить положение фотона — это взаимодействовать с ним. Но вы хотите сделать это на лету, между излучением и поглощением, и для этого вам нужно:

1. при упругом рассеянии фотон сохранит свою энергию и фазу и изменит угол

2. при неупругом рассеянии фотон сохранит часть своей энергии и фазы и изменит угол

Какой бы вы ни выбрали, он должен будет подчиняться HUP.

Хотя положение массивной частицы является наблюдаемым в нерелятивистской квантовой механике, положение фотона является противоречивой концепцией. Утверждалось, что нет плотности числа фотонов, есть только плотность энергии [1]. Решениями фотонного волнового уравнения являются электрические и магнитные поля, но связь между этими полями и нормируемой амплитудой числа фотонов Лаудау-Пайерлса (ЛП) нелокальна [2, 3]. Локализация сходящегося (или расходящегося) фотонного импульса не может быть точной, так как согласно теореме Пэли-Вайнера он должен иметь субэкспоненциальные хвосты [4].

https://www.researchgate.net/publication/45927278_Photon_position_measure

Итак, в основном ответ на ваш вопрос:

1. между рождением и аннигиляцией фотона на светоподобной мировой линии нет места

2. пространство-время непрерывно, и вы просите дискретную позицию

3. единственный способ измерить положение фотона на лету между испусканием и поглощением - это упругое и неупругое рассеяние, и это снова подчиняется HUP.