Обозначение сечений векторных расслоений

Редактировать : я понял, что то, что я написал, было не совсем правильно, поэтому позвольте мне немного изменить текст. Я буду выделять дополнения курсивом , чтобы старый текст оставался в качестве ссылки.

Я дал (частичный) ответ на это в обновлении моего ответа на ваш предыдущий вопрос , поэтому позвольте мне скопировать и вставить этот ответ (с некоторыми изменениями):

Ответ на первый вопрос - нет, но по другой причине, чем я указал в приведенной выше ссылке и в тексте ниже! . Таких обозначений не существует, и чтобы понять, почему, мы сначала должны понять, откуда берется «бескоординатная» векторная инвариантность. $v$в вашем вопросе есть сечение касательного пучка$TM$и мы разлагаем его по некоторому сечению канонического касательного репера расслоения$FM$, который также несет в себе естественное действие группы$GL_k({\mathbb{R}})$(действие - локальная смена базиса и$k$ранг$TM$). Другими словами, мы имеем$GL_k({\mathbb{R}})$-структура здесь.

Ситуация внешне похожа на$\psi$: это сечение векторного расслоения$\pi: V \to M$который несет$U(1)$-состав. На этом этапе также должно быть ясно, в чем разница между двумя случаями: в первом у вас есть два пакета$TM$и$FM$а в последнем есть только$\pi: V \to M$. Так что нет смысла просить$\psi$быть более инвариантным, чем оно уже есть: у вас нет ничего, относительно чего вы могли бы разложить его. Поэтому вместо того, чтобы думать о$\psi$как аналог секции$TM$, думайте об этом как об аналоге раздела$FM$.

Я ошибся в приведенных рассуждениях, потому что в случае одномерного$U(1)$концепции$V$и$F(V)$(ассоциированный пучок фреймов) совпадают. Таким образом, у вас также есть два пакета во втором случае. Но разница в том, что$TM$представляет собой совершенно особое векторное расслоение: его структура исходит из многообразия$M$себя, тогда как$V$является внешней структурой. Таким образом, вы, конечно, не можете получить разложение по координатным производным на$M$как и в случае$TM$.

Что касается второго вопроса: в калибровочных теориях обычно заранее фиксируют калибровку (вспомните калибровку Лоренца или Кулона) и работают в ней всегда. Вы не получите здесь ничего интересного, работая каким-то «безкалибровочным» способом (по крайней мере, я об этом не знаю). Таким образом, эти вещи действительно не являются проблемой, по крайней мере, до того момента, когда вы сталкиваетесь с QFT и начинаете задаваться вопросом, как учесть всю эту огромную свободу калибровок. А вот это на самом деле большая проблема, которую надо решать, и решать ее можно разными способами (в том числе и фиксацией манометра). Но, думаю, все это для вас сейчас неактуально.

Извините, я только что заметил ваш комментарий к предыдущему вопросу, где вы заявили, что зададите отдельный вопрос. Вот ответ. (Извините за любое совпадение с Мареком.)

Точно так же, как для того, чтобы говорить о векторах в n-мерном векторном пространстве как о n-кортежах чисел, вам нужно сначала выбрать базис, чтобы говорить о сечениях векторных расслоений конкретным образом, вы должны выбрать «фрейм».$\{e_a\}$(это просто причудливый способ сказать семейство базисных векторов/сечений). Тогда обозначения точно такие же, как и раньше, сечение$s$выглядит как$s^a e_a$(сумма над$a$).

В вашем примере волновой функции для заряженной частицы векторный пучок является одномерным (комплексным), поэтому единственный базисный вектор$e$обычно исключается из обозначения. Но она должна быть там, морально, как вы заметили.

Калибровочное преобразование$\chi$сводится к изменению вашего базисного вектора$e$умножив его на$\exp(-i\chi)$, поэтому (инвариантный) вектор$\Psi = \psi e$имеет координату$\psi \exp(i\chi)$в новой основе. Калибровочное поле$A_\mu$представляет собой матрицу 1x1, и ее необходимо изменить, добавив$\exp(i\chi)\partial_\mu \exp(-i\chi) = -i\partial_\mu \chi$. Сюда$D_\mu \Psi = \partial_\mu \psi + iqA_\mu \psi$имеет инвариантный смысл, где$q$является обвинением (или представлением, рассказывающим, как$A$действует на$\psi$-- т.е. путем умножения на$q$спереди).

Надеюсь, это помогло.