Какова основная онтология КТП?

Я изучаю КТП уже почти год, но до сих пор не совсем понимаю основную онтологию теории. Вот что я бы назвал «базовой онтологией» нерелятивистской квантовой механики:

  1. Частица представлена ​​волновой функцией ψ ( Икс → , т ) , квадратный модуль которого представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в определенной точке пространства и в определенный момент времени.
  2. Уравнение Шредингера говорит нам, как ψ ( Икс → , т ) развивается во времени.
  3. У каждой наблюдаемой есть соответствующий оператор, собственные значения которого являются возможными результатами измерения. Найти вероятность измерения этого исхода для частицы в состоянии ψ ( Икс → ) вовремя т , писать ψ ( Икс → ) как сумму взвешенных собственных функций оператора и возьмите квадратный модуль коэффициента на собственную функцию, связанную с нужным собственным значением.

Вы можете настроить это, чтобы охватить более общие физические системы, чем частица, или не требовать, чтобы мы говорили только с точки зрения представления положения, но это дает основную идею.

Я никогда не видел ничего подобного для QFT. Скажем, свободный электрон в КТП, представленный операторным полем ф ( Икс ) , или состояние пространства Фока | ф ⟩ или их комбинация? Все вышеперечисленное для NRQM остается в силе с небольшими изменениями, или оно полностью устарело в QFT? Если уравнения эволюции во времени КТП (Клейна-Гордона, Дирака и т. д.) определяют эволюцию поля , то что определяет эволюцию состояния ?

За некоторыми исключениями (лэмбовский сдвиг и тому подобное), в КТП вы в основном сосредоточены на рассеянии асимптотических состояний, по существу, в импульсном пространстве или времени жизни. Таким образом, ваши наблюдаемые совсем другие, и чрезмерное внимание к локализованным состояниям в значительной степени бессмысленно.
> Излишнее внимание к локализованным состояниям во многом бессмысленно. Где в вопросе WillG спрашивает о локализованных состояниях? Почему спрашивать о них бессмысленно?
Я предполагаю, что состояния, на которых мы «сосредотачиваемся», в значительной степени не имеют отношения к базовой онтологии теории.
С точки зрения конденсированного состояния вы можете начать с гамильтониана и построить интеграл по путям. В этой линзе квантованный гамильтониан является более фундаментальным, поэтому все просто переносится из КМ.
@ Ján Lalinský Понятно, что внимание к координатам x в КТП ошибочно, и поэтому связать φ (x) с локализованным электроном сложно . Электрон является состоянием фоковского пространства, и при рассеянии он рассматривается в импульсном пространстве. КТП — это релятивистская коллекция квантовых осцилляторов, объединяющая все проблемы КМ, главное обобщение. Но втискивать его в саморазрушительные онтологические картины УК контрпродуктивно и может сбить с толку.
Состояние строится из полей, действующих на фоковский вакуум, поэтому его эволюция следует за эволюцией полей. КТП предназначена для расчета времени жизни, коэффициентов ветвления и поперечных сечений, а не интерференционных картин. В простых ситуациях, таких как колебания, вы можете зафиксировать их результаты с помощью обычного QM с его обычным интуитивным интерфейсом.
Я могу попытаться превратить это в ответ, но один путь, который я бы предложил, включает функториальные аксиоматизации теорий поля, например, определение CFT Сигалом, определение TQFT Атией, более высокие категориальные расширения последнего Лурье и другими и т. д. В этом На картинке КТП определяется своим функтором разбиения или S-матрицей.
@d_b Это было бы интересным дополнением к моему ответу. Я процитировал обзор функториального подхода Атьи-Сигала, сделанный Моннье ( arxiv.org/abs/1903.02828 ), но не объяснил, что это такое. Я просто оставил это как кликбейт.

Ответы (1)

Я интерпретирую вопрос так:

Каковы общие принципы QFT, концептуально?

Не уверен, что это тот ответ, который ищет ОП, но я попробую и посмотрю, как он будет получен. Это невозмущающая перспектива.

КТП уточняет квантовую теорию

КТП представляет собой уточнение общих принципов квантовой теории. Общие принципы квантовой теории гласят, что наблюдаемые (измеримые вещи) представляются операторами, действующими в гильбертовом пространстве; но они мало говорят о том, какие виды наблюдаемых должна включать модель. Указание основных наблюдаемых (измеряемых вещей) и того, какие операторы их представляют, является задачей определения модели . КТП делает это относительно систематическим образом, как поясняется ниже.

Как только наблюдаемые были указаны, правила такие же, как обычно. Всякий раз, когда измеряется наблюдаемая, мы можем спроецировать состояние на одно из собственных пространств наблюдаемой с относительными частотами, определяемыми правилом Борна. То есть после измерения заменяем | ψ ⟩ → п н | ψ ⟩ , где п н является оператором проектирования на наблюдаемую н -th собственное пространство с относительными частотами ⟨ ψ | п н | ψ ⟩ , точно так же, как мы научились делать во вводном QM.

Наблюдаемые в КТП привязаны к пространству-времени, а не к частицам

Ради ответа на данный вопрос я противопоставлю КТП другому классу моделей, которые я назову «квантовой механикой». Иногда «квантовая механика» используется как синоним общих принципов квантовой теории, но здесь я использую эти слова не так.

  • В классе моделей, которые я буду называть «квантовой механикой», наблюдаемые связаны с частицами .

  • В КТП наблюдаемые привязаны к областям пространства-времени .

Концептуально это, пожалуй, самое важное, что нужно понять о КТП: в ней нет наблюдаемых, привязанных к частицам. В КТП частицы — это явления, которые могут возникать, и решить, какие именно явления следует называть «частицами», может быть запутанным делом (за исключением тривиальных моделей).

В КТП наблюдаемые связаны с областями пространства-времени. Ради краткости я сделаю вид, что мы можем связать наблюдаемые с точками пространства-времени, игнорируя многие математические проблемы, которые это вызывает. В КТП связь между наблюдаемыми и областями (или точками) пространства-времени — это данные, определяющие конкретную модель. Эта ассоциация обычно требуется для удовлетворения некоторых основных условий, таких как эти:

  • Принцип временного среза : все наблюдаемые могут быть выражены в терминах тех, которые связаны с окрестностями любого отдельного времени. (Здесь я имею в виду картину Гейзенберга, поэтому наблюдаемые параметризуются временем, а состояния — нет. Картина Шредингера будет упомянута ниже.)

Уравнения движения Гейзенберга (см. ниже) являются выражением этого принципа.

  • В релятивистской КТП мы налагаем причинность Эйнштейна (также известную как микропричинность ): если две точки разделены пространственноподобным интервалом, то связанные наблюдаемые коммутируют друг с другом.

Принцип причинности Эйнштейна предотвращает общение со сверхсветовой скоростью. В нерелятивистской КТП (или в решетчатых конструкциях «релятивистской» КТП) мы можем смягчить это до: если две наблюдаемые связаны с разными точками в одно и то же время, то они коммутируют друг с другом. Между прочим, нерелятивистская КТП пересекается с тем, что я выше назвал «квантовой механикой». Подробнее об этом ниже.

Чтобы установить контакт с экспериментом, нам нужно знать, какие частицы предсказывает данная КТП и как они себя ведут. Это можно явно проработать в тривиальных моделях, где «тривиальное» означает, что «частицы не взаимодействуют друг с другом», но это очень сложно явно проработать в нетривиальных моделях. Подробнее об этом ниже.

Наблюдаемые строятся из полевых операторов

Наблюдаемые в КТП обычно строятся в терминах полей , откуда, конечно же, и происходит название квантовой теории поля . Поля, как и наблюдаемые, привязаны к пространству-времени. Например, спинорное поле Дирака является оператором ψ н ( Икс , т ) параметризуется точкой в ​​пространстве Икс и время т и спинорный индекс н , которые будут принимать значения н е { 1 , 2 , 3 , 4 } в четырехмерном пространстве-времени. (Кстати, это совпадение; в Н -мерное пространство-время, число компонентов спинора Дирака растет экспоненциально с увеличением Н .)

Полевые операторы не обязательно должны удовлетворять тем же основным условиям, что и наблюдаемые. В частности, у нас могут быть фермионные поля, которые не коммутируют друг с другом на пространственно-подобных расстояниях, даже если наблюдаемые, построенные из этих полей, все же должны коммутировать друг с другом на пространственно-подобных расстояниях. Вот почему наблюдаемые должны включать произведение четного числа полей фермионов, а не нечетного числа.

В большинстве моделей наблюдаемые строятся с помощью калибровочных полей с пониманием того, что наблюдаемые инвариантны относительно калибровочных преобразований, даже если поля, из которых они построены, таковыми не являются. На эту тему можно еще многое сказать, слишком много, чтобы сказать здесь.

Вакуумное состояние и состояния с частицами

Вот еще одно основное условие, которое обычно налагается, по крайней мере, когда пространство-время плоское :

  • Состояние спектра : гамильтониан ЧАС , оператор, который генерирует переводы во времени всех наблюдаемых, должен удовлетворять ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ ≥ 0 для всех векторов состояния в гильбертовом пространстве. Другими словами, энергия должна быть неотрицательной (или, по крайней мере, ограниченной снизу, и в этом случае мы можем добавить несущественную константу к ЧАС сделать его неотрицательным). Состояние с наименьшей энергией называется состоянием вакуума , по крайней мере, если оно также удовлетворяет так называемому кластерному свойству , которое я не буду здесь описывать.

Пока неясно, как следует обобщать условие спектра для общего искривленного пространства-времени. Существует многообещающая идея, называемая «условием микролокального спектра», но она по-прежнему активно исследуется сегодня. Этот вопрос важен, потому что знание того, какое состояние следует использовать в качестве состояния вакуума , является предпосылкой для определения того, что такое «частица». Частицы — это вещи, которые можно сосчитать, а в вакууме их быть не должно. (Это правило нарушается в искривленном пространстве-времени. Я не буду вдаваться в подробности здесь, но я описал прагматичный подход в другом ответе .)

Вот идея: если | 0 ⟩ является вакуумным состоянием, то наблюдаемая Д который строится из операторов поля, локализованных в заданной области р и это удовлетворяет Д | 0 ⟩ "=" 0 может быть использована в качестве модели устройства для подсчета частиц, локализованного в р — за исключением того, что в релятивистской КТП это математически невозможно из-за знаменитой теоремы Ри-Шлидера . Лучшее, что мы можем сделать, — построить локальную наблюдаемую, которая приблизительно аннулирует состояние вакуума. Отчасти поэтому определение того, что «частица» должно означать в КТП, немного запутано.

При анализе тривиальных моделей мы можем обойти это, рассматривая нелокальные операторы подсчета частиц. Рецепт состоит в том, чтобы выразить заданный полевой оператор как сумму членов с положительной и отрицательной частотами, называемых операторами создания и уничтожения . (Эти операторы обязательно нелокальны в пространстве.) Из них мы можем построить н -состояния частиц и операторы подсчета частиц, как описано во многих учебниках. В нетривиальных моделях это становится намного сложнее. Это может быть основной причиной того, почему QFT так сложно освоить.

В строго нерелятивистской КТП эти сложности исчезают, и мы можем явно построить н -частичные состояния даже в нетривиальных моделях. Поскольку в нерелятивистской КТП число частиц сохраняется, мы можем даже рассмотреть подмодель, состоящую только из состояний с заданным числом частиц. Для состояний с не более чем одной частицей каждого вида получается то, что я называю «квантовой механикой», в которой наблюдаемые могут быть связаны с отдельными частицами. †

† Если мы рассмотрим состояния, имеющие более одной частицы одного и того же вида, даже если их общее число фиксировано, тогда наблюдаемые все равно должны быть привязаны к пространству-времени. Традиционный способ сказать это состоит в том, чтобы сказать, что частицы «неразличимы».

Уравнения движения

Если уравнения эволюции во времени КТП (Клейна-Гордона, Дирака и т. д.) определяют эволюцию поля, то что определяет эволюцию состояния?

Описанная выше формулировка использует картину Гейзенберга, в которой поля (и наблюдаемые) параметризуются временем, а состояния — нет. С некоторыми предположениями о структуре модели мы можем переключиться на картину Шрёдингера, в которой состояния параметризуются временем, а наблюдаемые — нет. В картине Шрёдингера уравнение, описывающее эволюцию состояний во времени, является обычным уравнением Шрёдингера.

я д д т | ψ ( т ) ⟩ "=" ЧАС | ψ ( т ) ⟩
где ЧАС является гамильтонианом, который является оператором, выраженным через те же операторы поля, из которых построены все другие наблюдаемые. Как обычно, это наблюдаемая, связанная с полной энергией системы. Это тот же гамильтониан, который мы используем в картине Гейзенберга для описания зависимости оператора поля от времени. ф :
я ∂ ∂ т ф ( Икс , т ) "=" [ ф ( Икс , т ) , ЧАС ] .
Я написал здесь производную по времени как частную производную, потому что полевые операторы также параметризуются пространственными координатами. Связь между картинами Шрёдингера и Гейзенберга такая же, как и в «квантовой механике». Преимущество использования картины Гейзенберга в КТП заключается в том, что она более сбалансированно рассматривает пространственные и временные координаты: полевые операторы (и наблюдаемые) параметризуются ими обоими. Это значительно упрощает выражение общих принципов, таких как причинность Эйнштейна.

Уравнения движения Гейзенберга и коммутационные соотношения для полевых операторов обычно строятся с использованием канонического рецепта квантования, начиная с «классического» лагранжиана. (Я взял «классический» в кавычки, потому что он может включать антикоммутирующие фермионные поля.) Однако у нас также могут быть нелагранжевы КТП — что-то, что могло бы показаться очень загадочным, если бы мы считали каноническое квантование определением КТП .

Альтернативные точки зрения

В формулировке, описанной выше, наблюдаемые являются главными действующими лицами. Существуют и другие формулировки, такие как формула интеграла по путям, которые могут быть более удобными для вычисления таких вещей, как корреляционные функции. Корреляционные функции неявно содержат все, что нужно знать о модели, и они особенно удобны для изучения процессов рассеяния — после использования некоторых тонких ухищрений (таких как формула редукции LSZ ), чтобы связать их с частицами теории .

Формулировка интеграла по траектории предлагает другой способ мышления о КТП, который открывает двери для новых видов понимания. Для людей, которые уже знакомы с основами теории категорий, относительно краткое введение в эту идею можно найти в «Современной точке зрения на аномалии», https://arxiv.org/abs/1903.02828 .

Несмотря на то, что он существует уже давно, лучший способ думать о QFT может быть чем-то, что мы еще не придумали. Это мнение выразил физик-математик Юдзи Татикава в презентации, которая начинается с этих слайдов (после ностальгического вступления):

Титульный слайд: Что такое квантовая теория поля?

Следующий слайд: Я не знаю.

Следующий слайд: КОНЕЦ. Спасибо за то, что вы слушали.

Вау, спасибо за такой длинный и информативный ответ. Я думаю, что самым важным утверждением в этом для меня было то, что частицы в КТП — это не вещи, а явления. Верен ли следующий вывод? «КТП включает в себя как состояния (векторы гильбертова пространства), так и операторные поля . Тот, который изменяется со временем, зависит от того, какая картина используется (Шредингер против Гейзенберга), но в любом случае отношения между состоянием и полем определяют вероятности наблюдаемых. Измерение частицы в каком-то месте является одной из таких наблюдаемых».
В таком случае справедливо ли будет сказать, что популярное объяснение «частица есть возбуждение поля» в общем случае неверно? В картине Шрёдингера, например, поле постоянно, поэтому его нельзя «возбуждать». Не следует ли нам сказать что-то вроде «частица — это всплеск ожидаемого значения числового оператора вблизи определенной точки пространства-времени»?
@WillG Резюме в вашем первом комментарии действительно правильное, и, вероятно, это был бы гораздо лучший ответ, чем мой! В популярном объяснении, приведенном в вашем втором комментарии, есть доля правды, но оно слишком упрощено. Соответствие между типами поля и типами частиц не всегда однозначно. Ваш «всплеск ожидаемого значения» хорош, хотя и вызывает вопрос о том, какой оператор квалифицируется как числовой оператор. Мы знаем ответ в тривиальных моделях (я имею в виду тривиальных в техническом смысле, а не в уничижительном смысле), но обычно не в нетривиальных моделях.
Интересный. Так что я полагаю, что выбор оператора числа частиц похож на выбор того, какие операторы в NRQM соответствуют каким физическим наблюдаемым? Мол, почему я ∂ / ∂ т представляет импульс: потому что QM дает свободу выбирать, какие операторы мы хотим для каждой физической наблюдаемой при построении конкретной модели, а некоторые модели просто работают?
@WillG После того, как модель построена из полевых операторов, мы знаем, как все ее наблюдаемые локализуются в пространстве-времени. (Это более или менее то, что означает построение модели в КТП.) Сделав это, мы можем спросить, какие из наблюдаемых обладают подходящими свойствами, чтобы действовать как счетчики частиц. В принципе, эту интерпретацию мы можем вывести из модели, а не что-то, что нам нужно выбирать или предполагать.
@WillG Но на практике такие непертурбативные вычисления могут быть слишком сложными, поэтому мы часто прибегаем к теории возмущений: начнем с тривиальной модели, выясним, что это за частицы, а затем надеемся , что картина тривиальной модели будет похожа на картинку в полная нетривиальная версия модели. Иногда получается, а иногда нет. Примером последнего является безмассовая КЭД в 1 + 1 размерности пространства-времени. В тривиальной версии есть электроны и фотоны, но полная версия оказывается эквивалентной модели только с невзаимодействующими скалярными бозонами !
ссылка в конце битая
@Ruslan Я исправил неработающую ссылку. Спасибо!
«Пока не ясно, как следует обобщать условие спектра для общего искривленного пространства-времени… Этот вопрос важен, потому что знание того, какое состояние следует использовать в качестве состояния вакуума, является необходимым условием для определения того, что такое «частица». ... это наблюдение должно быть первым наблюдением, которое нужно сделать, говоря о том, что КТП является последовательной теорией, и это фактически противоречит тому факту, что существуют разногласия по поводу того, как определять базисы Боголюбова в неинерциальных / вращающихся системах отсчета.
Я никогда не слышал о нетривиальных моделях. Какой пример? В книгах я только когда-либо видел, чтобы числовой оператор и оператор заряда определялись как нелокальные, как для QED, так и для ф 4 . Тогда под нетривиальными моделями вы подразумеваете КХД? Я думаю, очень странно, что числовые операторы определяются нелокально, даже когда частицы обнаруживаются в какой-то момент в экспериментах.
@RyderRude Как определено в этом ответе, нетривиальная модель — это модель, частицы которой взаимодействуют друг с другом. КЭД, ф 4 , и КХД в этом смысле нетривиальны. Оператор полного числа не может быть локальным, потому что он должен быть чувствительным к частицам, которые могут находиться где угодно в пространстве, но мы также можем определить операторы приближенно-локальных чисел, которые в основном чувствительны к частицам в определенных областях, как реалистичные детекторы. . (В реальном мире мы не обнаруживаем частицы в точке , а только в очень маленькой области. В реальном мире бесконечно точное пространственное разрешение невозможно.)
Какова основная онтология КТП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v