Каков радиус горизонта событий?

Начнем с того, что мы понимаем под горизонтом:

Горизонт событий асимптотически плоского пространства-времени — это граница между теми событиями, из которых нулевая геодезическая, указывающая в будущее, может достичь будущей нулевой бесконечности, и теми событиями, из которых такой геодезической не существует.

Нулевая геодезическая — это путь, по которому следует световой луч, поэтому горизонт отмечает поверхность, с которой свет просто не может уйти в бесконечность. Итак, что нам нужно сделать, так это посмотреть на траектории, по которым следуют световые лучи, и найти, где они задерживаются.

В этом случае сферическая симметрия упрощает задачу, поскольку радиальные лучи света будут перпендикулярны горизонту. Таким образом, мы можем просто найти радиус, на котором координатная скорость радиальных световых лучей равна нулю. Для радиальной траектории$d\theta = d\phi = 0$, и метрика становится:

$$ds^2=−A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)}$$

И мы знаем, что для света$ds = 0$поэтому получаем уравнение:

$$0 = −A(r)dt^2 + \frac{dr^2}{B(r)}$$

что дает нам:

$$\frac{dr}{dt} = \sqrt{A(t)B(t)}$$

Левая сторона$dr/dt$- координатная скорость светового луча, поэтому положение горизонта событий там, где она равна нулю:

$$\sqrt{A(t)B(t)} = 0 \tag{1}$$

Например, метрика Шварцшильда имеет$A(t)$и$B(t)$равно:

$$A(t) = B(t) = 1 - \frac{2GM}{c^2r}$$

и уравнение (1) принимает вид:

$$1 - \frac{2GM}{c^2r} = 0$$

который имеет решение, которое мы уже знаем:

$$r = \frac{2GM}{c^2}$$

Любой, кто интересуется этой областью, может захотеть взглянуть на предыдущий вопрос Anonymous по этому вопросу , поскольку мой ответ на него содержит более подробную информацию о том, что говорит нам метрика.

Сноска:

Майкл Зайферт отмечает, что приведенный выше анализ применим только в том случае, когда метрика не зависит от времени, т. е. когда$A$и$B$являются функциями только$r$и не из$t$. Этот тип метрики называется статическим пространством -временем .

Мой анализ основан на нахождении значения$r$для которого координатная скорость равна нулю, но в нестатическом пространстве-времени координатная скорость при конкретном значении$r$может быть нулевым в какой-то момент, но ненулевым в другое время, и наоборот , и мой аргумент неприменим.

Нахождение положения горизонта событий в пространстве-времени, зависящем от времени, — сложная задача, и я не могу дать простой ответ в виде какой-то функции$A$и$B$. Если вам интересно, на веб-сайте Living Reviews in Relativity есть статья о поиске горизонтов. Это в контексте численных решений, а не аналитических, но все же дает хорошее представление о том, что требуется.

Действительно, чтобы тщательно ответить на этот вопрос, мы должны хорошенько подумать, что такое горизонт. А для общего пространства-времени существует несколько различных понятий горизонта, и с «горизонтом событий», вероятно, труднее всего работать.

Формальное определение «горизонта событий» гласит: «Давайте отправимся в далекое будущее, выберем каждый свободно падающий путь, который пересекается с сингулярностью, а затем проследим прошлое этих путей. Внешняя граница этого набора путей — это событие». горизонт." Следовательно, если пространство-время имеет динамику, может возникнуть сложный вопрос о том, нахожусь ли я внутри горизонта событий. Вы даже можете сконструировать пространство-время, в котором есть полностью геометрически плоские области, находящиеся внутри горизонта событий!

Вместо этого давайте расслабимся и посмотрим на что-то более физическое и локальное, чем это. Мы назовем это «видимым горизонтом». Чтобы определить это, давайте найдем два касательных вектора путей света в пространстве-времени. Мы будем называть их$\ell^{a}$и$k^{a}$, и мы скажем, что$\ell_{a}k^{a} = -1$(это всегда можно сделать, умножив$k_{a}$некоторым постоянным числом). Затем эти два вектора будут определять двумерную поверхность, которая перпендикулярна обоим касательным направлениям и будет иметь субметрическую$q_{ab}$. Тогда видимый горизонт — это любая замкнутая поверхность, удовлетворяющая условию$q^{ab}\nabla_{a}\ell_{b} = 0$и$q^{ab}\nabla_{a}k_{b} < 0$(строго говоря, вам нужны некоторые условия на производные от этих ребят, но я чувствую, что уже слишком усложняю это).

Это выглядит очень математически, но это говорит нам о том, что для этой поверхности световой луч$\ell^{a}$просто пространственно зависает на месте, не попадая в горизонт и не ускользая от него, в то время как световой луч$k^{a}$указывает на другую поверхность с меньшей площадью. Поверхность фокусирует луч. Это говорит вам о том, что лучшее, что вы можете сделать на этой поверхности, — это быть лучом света, не падающим внутрь. Все другие пути ведут внутрь поверхности. Следовательно, для общего пространства-времени вам просто нужно прогнать вашу метрику через эту процедуру и найти видимые горизонты. Вы можете сами проверить (если достаточно знаете дифференциальную геометрию), что кажущийся горизонт пространства-времени Шварцшильда точно соответствует хорошо известному горизонту событий.

Уже есть хороший ответ от Джона Ренни.

1. Здесь мы только упомянем, что если предположить, что сферически-симметричная метрика (2) является вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна с$\Lambda=0$, то теорема Биркгофа показывает, что метрика (2) [после возможной перепараметризации временной координаты$t$] в точности является метрикой Шварцшильда . См., например , этот пост Phys.SE. В частности

   $$B(r,t)~=~1-\frac{R_S}{r}$$ автоматически выполняется для некоторого параметра длины$R_S$. Так что в случае (2) по-прежнему легко идентифицировать горизонт событий. В тайне это просто пространство-время Шварцшильда, причинная структура которого, как мы предполагаем, уже известна.

2. С другой стороны, для общих лоренцевых пространственно-временных многообразий $(M,g)$, определить горизонты событий нетривиально , отчасти потому, что они являются глобальными (в отличие от локальных) свойствами многообразий ( «Классически вы не чувствуете ничего особенного при пересечении горизонта событий» ).