Что такое «картинка» в квантовой механике?

Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно немного языка. Фундаментальные наблюдаемые квантовой механики не являются ни состояниями, ни операторами; вместо этого фундаментальные наблюдаемые являются матричными элементами формы

$$\langle\varphi |A|\psi\rangle.$$ В самом общем случае у вас может быть временная зависимость в состояниях вида $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = H_\mathrm S|\psi(t)\rangle,$$ а также зависимость от времени в операторах вида $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A(t) = [H_\mathrm H,A(t)] +i\frac{\partial A}{\partial t}.$$ Если вы объедините эти два, временная эволюция фундаментальных наблюдаемых будет иметь вид $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\varphi(t)|A(t)|\psi(t)\rangle = \left\langle\varphi(t)\middle|\bigg[H_\mathrm S+H_\mathrm H, A(t)\bigg] +i\frac{\partial A}{\partial t}\middle|\psi(t)\right\rangle .\tag{$*$}$$ Это фундаментальное уравнение эволюции во времени квантовой механики, где $H=H_\mathrm S+H_\mathrm H$должен быть полным гамильтонианом системы, и каждая конструкция, согласующаяся с этой формой, эквивалентна с точки зрения ее экспериментальных предсказаний.

Итак, на этом языке

картина - это выбор того, как разбить$\boldsymbol H$в$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf S}}$и$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf H}}$.

Таким образом, картина Шрёдингера соответствует выбору$H_\mathrm H=0$и$H_\mathrm S=H$, картина Гейзенберга противоположна, и вы склонны называть «картинкой взаимодействия» набор промежуточных вариантов, хотя должно быть ясно, что такой уникальной картины не существует.

Картины Гейзенберга и Шредингера на самом деле не эквивалентны в абстрактном контексте.

Картина Шрёдингера соответствует изучению эволюции квантовых состояний, картина Гейзенберга — эволюции квантовых наблюдаемых. Квантовые наблюдаемые образуют топологическую$*$-алгебра, а квантовые состояния являются элементами их двойственных. Для простоты ограничимся ограниченными наблюдаемыми, чтобы они образовывали банахово пространство (C$*$-алгебра), а также состояния.

Теперь требуется, чтобы эволюция представляла собой группу непрерывных линейных отображений в одном из двух банаховых пространств (состояния для Шра, наблюдаемые для Хейса). Для наблюдаемых на самом деле требуется, чтобы это была группа автоморфизмов алгебры. Тем не менее, на обеих картинках мы определяем карту$t\mapsto U (t)$, где$U (t)$являются непрерывными линейными операторами в соответствующем банаховом пространстве. Тогда естественно задаться вопросом о свойствах непрерывности вышеупомянутого отображения по отношению к различным топологиям, доступным в пространстве непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве. Тогда говорят, что группа, например, слабо, сильно или равномерно непрерывна. Такие свойства непрерывности очень важны для определения структуры группы. Например, если мы хотим, чтобы состояния подчинялись уравнению Шредингера, нам нужно, чтобы группа была строго непрерывной.

Двойственность между картинами Шредингера и Гейзенберга предположительно обусловлена ​​тем, что группа эволюции по наблюдаемым индуцирует группу эволюции по состояниям двойственностью топологических пространств. В свою очередь, группа эволюции по состояниям индуцирует группу эволюции по двойному дуалу наблюдаемых (который обычно больше, чем пространство наблюдаемых). Проблема в том, что свойства непрерывности группы не сохраняются двойственностью. Равномерная непрерывность — единственная, которая сохраняется, но генератор равномерно непрерывной группы ограничен (а мы знаем, что физически значимые гамильтонианы — нет). Сильная непрерывность не сохраняется, и поэтому, даже если мы имеем сильно непрерывную группу в картине Гейзенберга, двойственная группа в картине Шредингера, вообще говоря, может не быть таковой, поэтому уравнение Шредингера может не выполняться. С другой стороны, двойственная группа по наблюдаемым не гарантирует отображения наблюдаемых в наблюдаемые, поскольку она может отображать объекты двойного двойственного, которые не являются наблюдаемыми.

Слово «картинка» является английским переводом термина на первый язык, где это понятие обсуждалось, а именно немецкого слова «Bild» (точно так же, как немецкий журнал). «Heisenberg Bild» была первой известной картиной.

И этот термин не должен быть ничем иным, как неформальным синонимом слова «представительство». Когда художник рисует картину, это изображение объекта, который он нарисовал. Таким образом, картина является репрезентацией и среди художников. Использование жаргона художников допускает определенные «неточности». Картинка не обязательно должна быть «представлением» в каком-то особо строгом смысле, определяемом математиками. И разные изображения на самом деле не обязательно должны быть точно, надежно и универсально эквивалентны — даже если бы я выбрал ответ, что изображения абсолютно эквивалентны.

Но представления Гейзенберга, Шредингера и взаимодействия являются представлениями в том смысле, что конкретные операции, известные нам «феноменологически», такие как эволюция во времени$\Delta t$(ожидание некоторого времени), представлены различными фактическими преобразованиями математических объектов в теории – либо преобразованием вектора состояния, либо операторами, либо тем и другим.

В этом смысле слово «картина» как раз и указывает на «перевод понятий, известных нам экспериментально, независимо от теорий, в некоторые частные математические операции и символы». Перевод на язык математики аналогичен созданию художником картины. Таким образом, когда вы полностью определяете такой перевод в математический символ, вы нарисовали картину, репрезентацию окружающего вас мира.

Картины впервые появились в квантовой механике. Классические физики никогда не говорили о «картинках». Это потому, что все классические теории физики сами по себе были «картинками». Предполагалось, что они напрямую отражают то, что существует снаружи, и поэтому упомянутый выше «перевод» был уникальным и тривиальным. Только квантовая механика осознала, что перевод между математическими объектами в нашей теории и наблюдениями может быть несколько более тонким, поэтому желательно говорить об этом, допускать все возможные переводы и изучать их эквивалентности, если таковые имеются.