Какова аналогия |x⟩|x⟩|x\rangle в квантовой теории поля?

Позвольте мне начать с формулировки интеграла по путям в квантовой механике и квантовой теории поля. В КМ имеем

(1) U ( Икс б , Икс а ; Т ) "=" ⟨ Икс б | U ( Т ) | Икс а ⟩ "=" ∫ Д д е я С
| Икс а ⟩ является собственным состоянием оператора положения Икс ^ .

В QFT у нас есть

(2) U ( ф б , ф а ; Т ) "=" ⟨ ф б | U ( Т ) | ф а ⟩ "=" ∫ Д ф е я С
| ф а ⟩ является собственным состоянием полевого оператора ф ^ ( Икс ) .

По аналогии с КМ возникает соблазн связать

(3) | ф ⟩ ↔ | Икс ⟩

Однако в КТП Пескина и Шредера, стр. 24, с помощью вычислений сказано:

(2.42) ⟨ 0 | ф ( Икс ) | п ⟩ "=" е я п ⋅ Икс
Мы можем интерпретировать это как представление в пространстве положений одночастичной волновой функции состояния | п ⟩ , как и в нерелятивистской квантовой механике ⟨ Икс | п ⟩ ∝ е я п ⋅ Икс волновая функция состояния | п ⟩ .

Судя по цитируемому заявлению

(4) ф ^ ( Икс ) | 0 ⟩ ↔ | Икс ⟩

Если оба соотношения (3) и (4) верны, я должен был бы

(5) ф ^ ( ф ^ | 0 ⟩ ) "=" ф ( Икс ) ( ф ^ | 0 ⟩ )
кажется уравнение (5) не верно. По крайней мере, я не могу вывести уравнение. (5).

Как примирить аналогии (3) и (4)?

Непонятно, что вы пытаетесь написать с помощью eq. 5, как вы определяете ф без шапки?
Я имею в виду ф ^ ( Икс 1 ) | ф 1 ⟩ "=" ф 1 ( Икс 1 ) | ф 1 ⟩ , без шляпы — собственное значение полевого оператора.
Попался. Нет ф ^ | 0 ⟩ не является собственным вектором ф ^ . Вы можете увидеть это, например, написав ф ^ с точки зрения операторов создания и уничтожения, затем сравните ф ^ | 0 ⟩ против ф ^ 2 | 0 ⟩ , и заметьте, что одно не является скалярным кратным другому. Итак, как вы подозревали, экв. 5 не правильно.
Спасибо. Так ⟨ 0 | ф ^ ( Икс ) | п ⟩ это просто аналогия ⟨ Икс | п ⟩ . Это не подразумевает ф ^ ( Икс ) | 0 ⟩ является собственным состоянием ф ^ ( Икс ) в любом случае.
Да все верно.
Ваша проблема рассмотрена и решена в 312006 , после того как решена проблема с одним генератором, 292899 . По сути, вам нужно связать состояние |x> с вакуумом Фока |0>, что вполне выполнимо, но не тривиально, любыми способами.

Ответы (2)

  1. Нет ф ^ | 0 ⟩ не является собственным вектором ф ^ . Вы можете увидеть это, например, написав ф ^ с точки зрения операторов создания и уничтожения, затем сравните ф ^ | 0 ⟩ против ф ^ 2 | 0 ⟩ , и заметьте, что одно не является скалярным кратным другому. Итак, как вы подозревали, экв. 5 не правильно

  2. Чтобы получить некоторую аналогию | Икс ⟩ , вы можете просто выполнить преобразование Фурье а † ( п ) получить а † ( Икс ) , и а † ( Икс ) | 0 ⟩ ≡ | Икс ⟩ является лучшей аналогией | Икс ⟩ что я могу думать о

а † ( Икс ) | 0 ⟩ не является аналогом | Икс ⟩ , а в 1-е возбужденное собственное состояние некоторого гамильтониана (типа а † ( Икс ) | 0 ⟩ "=" | 1 ⟩ для QHO ). Аналог QFT собственных состояний положения Икс ^ | Икс ⟩ "=" Икс | Икс ⟩ являются собственными состояниями поля ф ^ ( Икс ) | ф ⟩ "=" ф ( Икс ) | ф ⟩ . Как только Икс ^ определяет волновую функцию Ψ ( Икс ) "=" ⟨ Икс | Ψ ⟩ в КМ, ф ^ определяет волновой функционал Ψ [ ф ] "=" ⟨ ф | Ψ ⟩ в КТФ.

Вы можете воспользоваться конструкцией Вопрос пространство, как описано у Рида и Саймона, том 2, стр. 228-230.

Упрощая, можно провести аналогию | ф ⟩ ∼ | Икс ⟩ , но связанный импульс не п ^ , но π ^ (канонический сопряженный импульс поля ф ^ ).

С чуть большей точностью: пространство Фока изоморфно л 2 пространство, где ф ^ действует как умножение на функцию Икс (является «переменной» л 2 пространство) и π ^ как (функциональная) производная − я дельта дельта Икс ; и в этом контексте вы можете определить «собственные функции» (они не принадлежат л 2 очевидно) | ф ⟩ и | π ⟩ с обычным значением как (бесконечномерные) собственные функции положения и импульса. Точная конструкция подробно описана в ссылке выше.

Сработает ли это и для фермионных полей?
@Quantumwhisp mmmh, вероятно, не совсем эквивалентно, поскольку здесь задействованы антикоммутационные отношения. Я не эксперт, но я предполагаю, что необходимы серьезные модификации, и я никогда не видел такого для фермионов (если он существует).
Какова аналогия |x⟩|x⟩|x\rangle в квантовой теории поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v