Какова действительная форма нётеровского тока в теории поля?

Question

Какова действительная форма нётеровского тока в теории поля?

Физика
Нётер-теорема
законы сохранения
лагранжев формализм
вариационный принцип
классическая теория поля

Фошиба

Давайте рассмотрим $N$ независимые скалярные поля, удовлетворяющие уравнениям движения Эйлера-Лагранжа, обозначаемые $\phi^{(i)}(x) \ ( i = 1,...,N)$ , и вытянуты в области $\Omega$ в $D$ -мерная модель пространства-времени $\mathcal{M}_D$ . Теперь рассмотрим классическую плотность Лагранжа, $\mathcal{L}(\phi^{(i)}, \partial_\mu \phi^{(i)}, x^\mu)$ . Применим следующее инфитезимальное преобразование с фиксированной границей к $\mathcal{M}_D$ .

\begin{aligned} (1) & Икс \to {\tilde{Икс}}^{мю} & \equiv {Икс}^{мю} + дельта {Икс}^{мю} (Икс), \\ (2) & такой, что дельта {Икс}^{мю} |_{\partial Ом} & "=" 0, \\ (3) & и поля преобразуются как: ф^{(я)} (Икс) & \to {\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс}) \equiv ф^{(я)} (Икс) + дельта ф^{(я)} (Икс) . \end{aligned}

$\begin{align*} x \to \widetilde{x}^\mu &\equiv x^\mu + \delta x^\mu (x), \tag{1} \\ \text{such that, }\ \delta x^\mu\Big{|}_{\partial\Omega}&=0, \tag{2} \\ \text{and the fields transform as: }\ \phi^{(i)}(x) &\to \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) \equiv \phi^{(i)} (x) + \delta\phi^{(i)} (x). \tag{3} \\ \end{align*}$

Согласно моим расчетам, до первого порядка по вариации плотность лагранжиана определяется выражением:

\begin{matrix} (4) & дельта л "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} дельта ф^{(я)} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} \partial_{ν} ф^{(я)} дельта {Икс}^{ν} + л дельта {Икс}^{мю}) - л \partial_{мю} (дельта {Икс}^{мю}) \end{matrix}

$\boxed{ \delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu \Big) - \mathcal{L} \partial_\mu (\delta x^\mu) }\tag{4}$

Следовательно, сохраняющийся ток равен

\begin{matrix} (5) & {Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} дельта ф^{(я)} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} \partial_{ν} ф^{(я)} дельта {Икс}^{ν} + л дельта {Икс}^{мю} - Ф^{мю} \end{matrix}

$\boxed{ J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu - F^\mu } \tag{5}$ где

F^{μ}

$F^\mu$ произвольное поле, обращающееся в нуль на

\partial Ω

$\partial \Omega$ .

Однако большинство учебников игнорируют второй и третий члены в приведенном выше выражении. Сравните, например, с Peskin и Schroeder (стр. 18), который устанавливает:

\begin{matrix} (6) & {Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} дельта ф^{(я)} - Ф^{мю} . \end{matrix}

$J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - F^\mu. \tag{6}$

В качестве другого примера Швебер (стр. 208) игнорирует все члены, кроме первого, в вариации лагранжевой плотности и пишет:

\begin{matrix} (7) & дельта л "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} дельта ф^{(я)}) . \end{matrix}

$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} \Big).\tag{7}$

и так, что здесь происходит? Я что-то пропустил? Кажется, мы установили одни и те же предположения, но получили разные результаты. Я ошибаюсь или они?

РЕДАКТИРОВАТЬ : Условие (2) не нужно, так как оно никогда не использовалось при выводе тока. Пожалуйста, игнорируйте его присутствие в приведенном выше тексте.

Фошиба

Вот вывод моего результата, если хотите прочитать.

Ответы (4)

Какова действительная форма нётеровского тока в теории поля?

Вот вывод моего результата, если хотите прочитать.

Qмеханик · Answer 1

уравнение (5) есть (с точностью до множителей бесконечно малого параметра $\varepsilon$ ) стандартное выражение для полного нётеровского тока . Здесь:
- $\delta x^{\mu}$ – так называемая горизонтальная составляющая бесконечно малой вариации;
- $\delta \phi -\frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu}$ – так называемая вертикальная составляющая бесконечно малой вариации;
- $F^{\mu}$ является улучшением в случае квазисимметрии .
Суть в том, что Швебер (7), Пескин и Шредер (6) рассматривают только ситуации с чисто вертикальными преобразованиями, т.е. ситуации, когда $\delta x^{\mu}=0$ .
Отметим, что последний член в уравнении (4) компенсируется якобианскими вкладами меры интегрирования. Следовательно, его нет в уравнении. (5).
Наконец, кажется уместным упомянуть, что граничное условие OP (2) часто не выполняется в важных приложениях, таких как канонический тензор энергии-импульса-импульса (SEM), который является током Нётер для перемещений пространства-времени. См., например, этот пост Phys.SE. Поэтому граничное условие (2) следует соответствующим образом ослабить. Аналогично, срок улучшения $F^{\mu}$ не является каким-то произвольным полем, которое исчезает на границе, как утверждает OP (v3) по уравнению. (5). Вместо этого срок улучшения $F^{\mu}$ диктуется квазисимметрией, фиксирующей $F^{\mu}$ до бездивергентного члена.

Различие между горизонтальными и вертикальными бесконечно малыми вариациями, по-видимому, предполагает, что они являются линейно независимыми величинами, что явно не так. Итак, что вы имеете в виду, когда рассматриваете только вертикальную трансформацию ? Вы устанавливаете $\delta x^\mu = 0$ ? Если $\delta \phi$ вызывается $\delta x^\mu$ , то это означало бы исчезновение и вертикальной вариации. Что мне не хватает?
Ну, это недоразумение. Я обновил ответ, надеюсь, более четкой формулировкой.
Спасибо. Я понимаю вашу точку зрения. Я хотел бы задать последний вопрос по поводу вашего заявления о том, что $F^\mu$ обязательно диктуется квазисимметрией. Поскольку мы знаем, что $\int_\Omega \partial_\mu F^\mu = F^\mu\Big|_{\partial \Omega}$ , мы можем просто добавить произвольную дивергенцию к вариации действия, если мы удовлетворяем $F^\mu\Big|_{\partial \Omega} = 0$ . Я не понимаю, зачем нам еще больше ограничивать структуру этого поля. Возможно, это удобно в определенных ситуациях, но в этом нет необходимости . Не могли бы вы объяснить свою позицию?

Бенце Рашко · Answer 2

Цель этого ответа - уточнить ответ Кнчжоу. У нас есть следующее утверждение:

Теорема: Предположим, что $\delta$ есть общая (т.е. не обязательно вертикальная) квазисимметрия действия $S$ . Тогда существует эквивалентная вертикальная квазисимметрия $\delta^\ast$ , при котором действие также квазиинвариантно с тем же нётеровским током.

Это утверждение имеет два предостережения:

Хотя полные нётеровские токи эквивалентны, распределение «голого» нётеровского тока и «срока улучшения» в этих двух случаях не совпадают. В частности, если $\delta$ является точной симметрией, $\delta^\ast$ вообще будет квазисимметрией.
Соответствующая вертикальная симметрия $\delta^\ast$ является обобщенной симметрией вообще, даже если $\delta$ является обычной симметрией. Разница между ними будет объяснена в теле ответа.

Предположим, что действие

С [ф] "=" \int_{Ом} л (Икс, ф (Икс), \partial ф (Икс)) г^{н} Икс,

$S[\phi]=\int_\Omega\mathcal L(x,\phi(x),\partial\phi(x))d^nx,$ где

Ω

$\Omega$ является компактным

n

$n$ размерная область интегрирования, поле равно

ϕ^{i} (x)

$\phi^i(x)$ с

m

$m$ компоненты и

n

$n$ независимые переменные

x^{μ}

$x^\mu$ . Для простоты предполагается лагранжиан первого порядка, но результат качественно справедлив и для случая более высокого порядка (т. е. конкретные формулы разные, но общий результат тот же).

Сначала рассмотрим вариант $\delta$ данный

{Икс}^{' мю} "=" {Икс}^{мю} + ϵ дельта {Икс}^{мю}, ф^{' я} ({Икс}^{'}) "=" ф^{я} (Икс) + ϵ дельта ф^{я} (Икс) .

$x^{\prime\mu}=x^\mu+\epsilon\delta x^\mu,\quad\phi^{\prime i}(x^\prime)=\phi^i(x)+\epsilon\delta\phi^i(x).$ Мы предполагаем, что эта вариация является внешней квазисимметрией действия, т.е.

дельта С [ф] "=" \int_{Ом} г_{мю} Ф^{мю} г^{н} Икс

$\delta S[\phi]=\int_\Omega d_\mu F^\mu\ d^nx$ для некоторого улучшения тока

F^{μ}

$F^\mu$ . Позволять

L = L d^{n} x

$L=\mathcal Ld^nx$ быть лагранжианом

n

$n$ - формировать и определять общую вариацию

δ_{T} L

$\delta_T\mathcal L$ лагранжевой плотности быть

дельта л "=" {дельта}_{Т} л г^{н} Икс .

$\delta L=\delta_T\mathcal L\ d^nx.$

Поскольку OP правильно вывел, мы имеем

{дельта}_{Т} л "=" Е_{я} (л) (дельта ф^{я} - \partial_{мю} ф^{я} дельта {Икс}^{мю}) + г_{мю} [\frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} дельта ф^{я} - (\frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} ф_{ν}^{я} - л {дельта}_{ν}^{мю}) дельта {Икс}^{ν}] "=" Е_{я} (л) (дельта ф^{я} - \partial_{мю} ф^{я} дельта {Икс}^{мю}) + г_{мю} [\frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} (дельта ф^{я} - \partial_{ν} ф^{я} дельта {Икс}^{ν}) + л дельта {Икс}^{мю}] "=" Е_{я} (л) {дельта}^{*} ф^{я} + г_{мю} [\frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} {дельта}^{*} ф^{я} + л дельта {Икс}^{мю}],

$\delta_T\mathcal L=E_i(L)(\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu)+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta\phi^i-\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\phi^i_\nu-\mathcal L\delta^\mu_\nu\right)\delta x^\nu\right] \\ = E_i(L)(\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu)+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\left(\delta\phi^i-\partial_\nu\phi^i\delta x^\nu\right)+\mathcal L\delta x^\mu\right] \\ = E_i(L)\delta^\ast\phi^i+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu\right],$ где

E_{i} (L)

$E_i(L)$ является выражением Эйлера-Лагранжа лагранжиана, и

{дельта}^{*} ф^{я} "=" дельта ф^{я} - \partial_{мю} ф^{я} дельта {Икс}^{мю}

$\delta^\ast\phi^i=\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu$ – вертикальная часть вариации.

Тогда полный нётеровский ток равен

{Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} {дельта}^{*} ф^{я} + л дельта {Икс}^{мю} - Ф^{мю} .

$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu-F^\mu .$

Теперь подумайте о том, чтобы сделать только $\delta^\ast\phi^i$ как вариант без горизонтальной части. Вариация действия есть

{дельта}^{*} С "=" \int_{Ом} (Е_{я} (л) {дельта}^{*} ф^{я} + г_{мю} (\frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} {дельта}^{*} ф^{я})) г^{н} Икс .

$\delta^\ast S=\int_\Omega\left(E_i(L)\delta^\ast\phi^i+d_\mu\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i\right)\right)d^nx.$ Сравнивая это с интегралом от

δ_{T} L

$\delta_T\mathcal L$ , мы нашли

{дельта}^{*} С "=" дельта С - \int_{Ом} г_{мю} (л дельта {Икс}^{мю}) г^{н} Икс .

$\delta^\ast S=\delta S-\int_\Omega d_\mu(\mathcal L\delta x^\mu)d^nx.$

Отсюда следует, что если $\delta$ является квазисимметрией $S$ со сроком улучшения $F^\mu$ , затем $\delta^\ast S$ также является квазисимметрией $S$ со сроком улучшения $\bar F^\mu=F^\mu-\mathcal L\delta x^\mu$ . Тогда полный нётеровский ток из этой симметрии равен

{Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} {дельта}^{*} ф^{я} - {\bar{Ф}}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial ф_{мю}^{я}} {дельта}^{*} ф^{я} + л дельта {Икс}^{мю} - Ф^{мю},

$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i-\bar F^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu-F^\mu,$ что согласуется с предыдущим током.

Примечания:

Ясно, что если член улучшения обращается в нуль для $\delta$ , т.е. $F^\mu=0$ , то соответствующая вертикальная вариация все еще имеет член улучшения $-\mathcal L\delta x^\mu$ . Таким образом, как сказано во введении, невертикальная точная симметрия может быть заменена только вертикальной квазисимметрией.

Во-вторых, вариации, которые появляются в теореме Нётер, таковы, что они не являются вариациями в конкретной области . $\phi^i$ , но, скорее, можно рассчитать вариацию любого поля. Другими словами, $\delta$ является «векторным полем», а не единственным «касательным вектором» в пространстве полей. Обычно эти вариации имеют функциональную форму

дельта {Икс}^{мю} "=" ξ^{мю} (Икс), дельта ф^{я} (Икс) "=" Ξ^{я} (Икс, ф (Икс)) .

$\delta x^\mu=\xi^\mu(x),\quad\delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x)).$ Если варианты имеют эту функциональную зависимость, то они генерируют проецируемые потоки в

n + m

$n+m$ -мерное полное пространство как зависимых, так и независимых переменных

(x^{μ}, y^{i})

$(x^\mu,y^i)$ (этот момент был бы более понятен в формулировке расслоения волокон, чего я не делаю ради доступности).

Однако для вертикальных вариаций мы также можем рассматривать вариации вида

дельта ф^{я} (Икс) "=" Ξ^{я} (Икс, ф (Икс), \partial ф (Икс), . . ., \partial^{р} ф (Икс)),

$\delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x),\partial\phi(x),...,\partial^r\phi(x)),$ и это называется обобщенной вариацией (а если симметрией, то обобщенной симметрией) (далее замечание: в принципе можно рассматривать любой функционал

δ ϕ^{i} (x) = Ξ^{i} [ϕ] (x)

$\delta\phi^i(x)=\Xi^i[\phi](x)$ , однако в духе локальности обычно рассматриваются только функционалы конечного порядка).

Обобщенные вертикальные вариации не генерируют течения в $(x,y)$ -пространство, но они генерируют потоки в полевом пространстве через уравнение

\frac{\partial ф_{ϵ}^{я}}{\partial ϵ} "=" Ξ^{я} (Икс, ф_{ϵ} (Икс), . . ., \partial^{р} ф_{ϵ} (Икс)) .

$\frac{\partial\phi^i_\epsilon}{\partial\epsilon}=\Xi^i(x,\phi_\epsilon(x),...,\partial^r\phi_\epsilon(x)).$

С учетом этого, если $\delta$ это обычная невертикальная вариация с

дельта {Икс}^{мю} "=" ξ^{мю} (Икс), дельта ф^{я} (Икс) "=" Ξ^{я} (Икс, ф (Икс)),

$\delta x^\mu=\xi^\mu(x),\quad \delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x)),$ тогда соответствующая вертикальная вариация имеет вид

{дельта}^{*} ф^{я} (Икс) "=" Z^{я} (Икс, ф (Икс), \partial ф (Икс)) "=" Ξ^{я} (Икс, ф (Икс)) - \partial_{мю} ф^{я} (Икс) ξ^{мю} (Икс),

$\delta^\ast\phi^i(x)=\mathrm Z^i(x,\phi(x),\partial\phi(x))=\Xi^i(x,\phi(x))-\partial_\mu\phi^i(x)\xi^\mu(x),$ что показывает, что

δ^{*}

$\delta^\ast$ на самом деле обобщенной вертикальной симметрией.

Таким образом, как указано во введении, невертикальная обычная вариация может быть заменена только вертикальной генерализованной вариацией вообще.

Кнчжоу · Answer 3

Проблема в том, что есть два способа записать преобразование бесконечно малого поля. В качестве простого примера рассмотрим тройку полей $\phi_i$ которые преобразуются как вектор в пространстве, и предположим, что мы имеем дело с вращательной симметрией. Мы можем записать эту симметрию двумя способами:

Ваш метод: вращение меняет пространственные координаты (ваш $\delta x^\mu$ ) и изменяет значение поля путем вращения (ваш $\delta \phi^i$ ).
Более распространенный метод: вращение только изменяет значение поля при сохранении постоянных пространственных координат, т.е. $\delta x^\mu = 0$ .

Хотя ваш метод выглядит более общим, второй метод работает одинаково хорошо, так как любой сдвиг координат на небольшой $\delta x^\mu$ эквивалентно сдвигу значения поля на $\partial_\mu \phi^i \delta x^\mu$ .

Параметр $\delta x^\mu = 0$ в ответ Пескина и Шредера дает ваш, так что они с вами согласны, за исключением того, что их $\delta \phi$ будет сложнее. Книга Швебера немного более проста и, вероятно, не содержит полной производной просто для упрощения.

Вы утверждаете , что в более распространенном методе $\delta x^\mu = 0$ , а также утверждать, что $\delta\phi^i \propto \partial_\mu \phi^i \delta x^\mu$ . Разве это не означает $\delta\phi^i = 0$ повсюду? Как вы это объясните?
@Meghana Извините, я использовал плохую запись. В первом уравнении я имею в виду отсутствие пространственного преобразования, поэтому $\delta x^\mu$ термины в вашей версии течения Нётер не появляются. Во втором уравнении я имею в виду, что нужно добавить дополнительное изменение к $\delta \phi$ компенсировать. В данном контексте, $\delta x^\mu$ это просто четырехмерный вектор и не имеет никакого значения, кроме этого. Оно равно любому пространственному преобразованию.

Фотон · Answer 4

Нётеровский ток всегда связан с каким-то преобразованием. Если вы отбросите второй и третий члены во втором поле, у вас будет ток для чистого преобразования поля без преобразования координат. Обратите внимание, что преобразование поля состоит из двух частей: одна возникает из-за заданного сдвига поля, а другая индуцируется преобразованием координат. Если, например, вы установите сдвиг чистого поля равным нулю и сохраните только часть, вызванную сдвигом координат, вы получите тензор энергии-импульса теории.

Исправление: вы получаете тензор энергии-импульса как ток Нётера, только если вы устанавливаете преобразование координат как перемещение пространства-времени.

Какова действительная форма нётеровского тока в теории поля?

Фошиба

Фошиба

Ответы (4)

Qмеханик

Фошиба

Qмеханик

Фошиба

Qмеханик

Бенце Рашко

Кнчжоу

Фошиба

Кнчжоу

Фотон

Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Простое доказательство теоремы Нётер? [дубликат]

Об уловке для получения тока Нётер

Нётеровский заряд и класс эквивалентности нётеровых токов

Помощь в понимании концепции в первой теореме Нётер.

Симметрия уравнений Эйлера-Лагранжа и законы сохранения

Дополнительный член в токе Нётер

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?