Какова недостающая константа пропорциональности в формуле магнитной левитации?

Как отметил Луршер в комментарии, вы используете неправильные единицы измерения магнитной восприимчивости.$\chi$на самом деле безразмерное число, которое связано с магнитной проницаемостью материала по сравнению с вакуумом. Я думаю, вы перепутали это с молярной магнитной восприимчивостью , которая$\chi_\text{mol} = \mathcal{M}\chi/\rho$, где$\mathcal{M}$– молярная масса вещества (ед.$\mathrm{kg/mol}$) и$\rho$плотность (ед.$\mathrm{kg/m^3}$).$\chi_\text{mol}$дело в единицах$\mathrm{m^3/mol}$, но это$\chi$что на самом деле появляется в формуле магнитной левитации.

Разобравшись с этим, давайте посмотрим на уравнение. Левая сторона, естественно, имеет единицы$\mathrm{T^2/m}$. Если вы включаете магнитную постоянную справа, как это делает Википедия (правильно), у вас есть

$$\biggl[\mu_0\frac{ \rho g }{\chi}\biggr] = [\mu_0]\frac{ [\rho] [g] }{[\chi]} = \biggl(\frac{\mathrm{T\,m}}{\mathrm{A}}\Biggr)\frac{\mathrm{(kg/m^3)(m/s^2)}}{1} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

Здесь я использую обозначение, в котором скобки вокруг количества обозначают единицы этого количества. Например, единицы магнитной постоянной$\mathrm{T\,m/A}$, так$[\mu_0] = \mathrm{T\,m/A}$.

Теперь вы можете приравнять единицы измерения двух частей уравнения:

$$\frac{\mathrm{T^2}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

что упрощает до

$$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$$

Итак, если эта эквивалентность верна, то она показывает, что исходное уравнение размерностно согласовано. И если вы посмотрите на страницу Википедии для Теслы , это действительно дает$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$как одно из определений этой единицы.

В качестве альтернативы вы можете проверить это, используя формулу, включающую магнитное поле и ток, например$\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}$. Единицы этого$\mathrm{N = A\,m\times T}$, и с тех пор$\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}$, вы можете установить$\mathrm{kg\,m/s^2 = A\,m\,T}$и найти именно это$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$. Это полезный трюк, который избавляет вас от необходимости запоминать определения всех единиц СИ (или других).

Это то, что мне тоже потребовалось много времени, чтобы осознать это, но на самом деле не должно быть константы (в зависимости от системы измерения). Вы упомянули СИ, которая, безусловно, является предпочтительной системой, но я собираюсь поднять cgs , потому что она выводит на поверхность некоторые из лежащих в основе забавных дел (особенно из-за определений статкулона ) , и в ее основе это не так. далеко от СИ.

Вы почти правильно разбиваете единицы СИ для левой и правой сторон, за исключением того, что в этой формуле используется безразмерная величина .$\chi$, поэтому я начинаю с:

$\frac{T^2}{m} = \frac{kg\cdot}{m^2\cdot s^2}$

Я перепишу это в единицах cgs.$T$вместо этого$gauss$,$m$заменяется$cm$,$kg$становится$g$, и$s$неизменен. Итак, я получаю:

$\frac{gauss^2}{cm} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Гаусс — производная единица, которая в более «фундаментальных» единицах равна$gauss = \frac{g\cdot cm}{statC\cdot s^2}$. Мне все еще неудобно пытаться объяснить все тонкости статкулона ( statC); Боюсь, вам придется разобраться в этом немного подробнее. В конечном итоге он становится единицей заряда, но имеет множество других последствий. Во всяком случае, вводя такое определение$gauss$дает:

$\frac{g^2\cdot cm}{statC^2\cdot s^4} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Или, немного переставив и упростив,

$statC = \frac{g^{1/2}\cdot cm^{3/2}}{s}$

На самом деле это определение statC, так что уравнение размерностно согласовано.

Насколько мне известно, кулон из СИ ведет себя совсем иначе, и у меня нет хорошего способа показать согласованность размеров в СИ, но мне было бы очень интересно, если бы это сделал кто-то другой.

$\mu_0$отсутствует с правой стороны, и на самом деле$\chi$безразмерна, это просто отношение между$M$и$H$. Так

$$B \frac{dB}{dz} = \mu_0 \frac{ \rho g }{\chi}$$

Причина:

• единица$B^2/\mu_0$плотность энергии ($J/m^3$)
• единица$[\rho g]$является ($N/m^3$)
• как$J=Nm$всё хорошо