Почему проницаемость вакуума имеет в нем значение ππ\pi?

Это не что иное, как выбор юнитов.

Позвольте мне сделать это (надеюсь) более ясным, объяснив больше о том, как работает выбор единиц измерения в электромагнетизме:

• Закон Кулона$\vec F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\vec r}$для силы между двумя зарядами$q_1$и$q_2$.$k$отличается в различных системах единиц - по существу, это зависит от того, как определяется единица заряда.

• Закон Ампера$\vec F = k' I_1 I_2 \oint_{C_1} \oint_{C_2} \frac{d\vec r_1 \times (d\vec r_2 \times \vec r)}{|r|^3}$для силы между двумя токами вдоль$C_1$и$C_2$.$k'$отличается в различных системах единиц - по существу, это зависит от того, как определяется единица тока.

В электродинамике мы находим, что

$$k / k' = c^2$$ в противном случае мы свободны в выборе. В CGS мы определяем $k = 1$, а в СИ $k' = 10^{-7} \frac{Vs}{Am}$.

Теперь введем константы

$$\mu_0 = 4\pi\, k', \quad \varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k}$$ Это не более чем определение - факторы $4\pi$в дальнейшем упростить некоторые формулы, например, при интегрировании полей по поверхности сферы.