Разница между нормальными координатами Ферми и Римана

Возьмите направленную в будущее времениподобную кривую$\gamma= \gamma(\tau)$,$\tau$самое подходящее время$\gamma$в пространстве-времени$M$. Предположим, что$p = \gamma(0)$является начальной точкой$\gamma$.

Координаты Ферми адаптированы к$\gamma$построены таким образом.

Рассмотрим ортонормированный базис$T_pM$с$e_0$параллельно$\dot{\gamma}$.

Транспортировать основу$\{e_a\}_{a=0,1,2,3}$вдоль$\gamma= \gamma(\tau)$используя транспорт Ферми-Уокера . Основа$\{e_a(\tau)\}_{a=0,1,2,3}$в каждой точке$\gamma(\tau)$по-прежнему ортонормирован с$e_0(\tau)$параллельно$\dot{\gamma}(\tau)$и не вращается (в точном смысле, связанном с разложением преобразований Лоренца на чистые преобразования и вращения) относительно исходного базиса, в этом физический смысл переноса Ферми-Уокера.

Наконец, постройте систему координат в открытой трубе.$T$, район г.$\gamma$, испуская все пространственноподобные геодезические через$\gamma(\tau)$с начальным касательным вектором$\sum_{i=1}^3 v^i e_i(\tau)$, для каждого$\tau$.

Точка$q\in T$имеет координаты$\tau(q), v^1(q), v^2(q), v^3(q)$где$\sum_{i=1}^3 v^i(q) e_i(\tau(q))$- единственный вектор, связанная геодезическая которого достигает$q$для значения его параметра$s=1$и$\tau(q)$это единственный раз$\gamma$для этого это геодезическое достижение$q$существует.

Если$\gamma$сама является геодезической, то перенос Ферми-Уокера становится стандартным параллельным переносом , а координаты Ферми становятся стандартными римановыми координатами , адаптированными к$\gamma$. В этом случае, используя эти координаты в окрестности$T$из$\gamma$, у нас есть$\Gamma_{ab}^c =0$точно на$\gamma$. Однако это свойство не действует для координат Ферми, когда$\gamma$не является геодезическим.

Современная ссылка на эту тему - http://arxiv.org/abs/gr-qc/9402010 , где также обсуждаются вращающиеся координаты.

Нормальные координаты Римана (или просто нормальные координаты для краткости) являются «дедушкой» различных конструкций нормальных координат: нормальная система координат Римана — это система локальных координат, построенная вокруг одной точки многообразия (в общей теории относительности, с своего пространственно-временного многообразия точку обычно называют событием ).

В качестве координатных линий берутся все геодезические (времяподобные, нулевые и пространственноподобные ;-)) которые пересекают эту точку. Затем преобразование координат из римановых координат в (произвольные) фоновые координаты следует из анзаца решения ряда Тейлора соответствующего геодезического уравнения. Его коэффициенты Тейлора можно записать в терминах частных производных символов Кристоффеля. Затем требуется, чтобы — как видно из нормальной системы координат Римана — все эти геодезические выглядели как прямые линии, т. е. чтобы они были (хотя и нефизическими) локальными инерциальными координатами . Если теперь выполнить приведенное выше преобразование координат в римановых координатах, то окажется, что для этого все квадратичные и более высокие коэффициенты Тейлора должны обращаться в нуль в римановых координатах.. Коэффициент Тейлора 1-го порядка задается символами Кристоффеля, 2-го порядка - его 1-й частной производной и так далее. Это обращение в нуль коэффициентов Тейлора затем дает координатные условия нормальной координаты Римана. система: символы Кристоффеля и все их высшие (симметризованные) производные исчезают.

Нормальные координаты Ферми представляют собой небольшое расширение конструкции нормальных координат Римана, чтобы иметь локальную инерциальную координату. система, способная описать также физических наблюдателей, которые всегда следуют временным мировым линиям (т. е. они всегда будут двигаться в пространстве-времени вдоль своих локальных времениподобных направлений, даже когда они неподвижны).

С координатами Ферми можно расширяться не только вокруг одной точки , но и вдоль всей времениподобной кривой , которая затем является мировой линией некоторого наблюдателя. В этом принципиальное различие между нормальными координатами Римана и Ферми. Таким образом, в координатах Ферми выполняется только пространственное (т.е. трехмерное) разложение по римановым координатам наружу от центральной мировой линии и ортогонально ей, т.е. только вдоль пространственноподобных геодезических, которые пересекают мировую линию ортогонально (они ортогональна 4-скорости, которая является касательной к центральной мировой линии).

Итак, поскольку координаты Ферми основаны на римановых координатах (непрерывном семействе только пространственных), они оба «имеют» вансихинговые символы Кристоффеля. Точнее: в римановых координатах символы Кристоффеля обращаются в нуль вместе со всеми их первыми и высшими (симметризованными) частными производными.

В координатах Ферми, поскольку они включают только пространственные разложения Римана, исчезают только пространственные (нижние индексы) символы Кристоффеля. Соответственно, во втором и более высоких порядках разложения равны нулю также их вполне симметричные первые и высшие пространственные частные производные.

Теперь, исчезнет ли непространственная часть символов Кристоффеля, зависит от того, является ли центральная мировая линия построения также геодезической или нет.

Если она геодезическая, то исчезает и непространственный Кристоффель (в этом случае ее касательная, т. е. 4-скорость, переносится параллельно, а наблюдатель, следующий за этой геодезической мировой линией, инерционен, или свободно падает). Наоборот, если это не геодезическая (что означает, что наблюдатель, следующий за мировой линией, неинерциален, т. е. он ускоряется и/или его пространственные базисные векторы вращаются), то непространственные Кристоффели не исчезнут, поскольку они связаны с его четырехкратным ускорением и вращением.