Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям

Этот тип задач часто называют механической системой с ограничениями. Его изучал Дирак, разработавший теорию квантования с ограничениями . Эта теория была формализована и развита Марседеном и Вайнштейном до того, что называется «симплектической редукцией». Особенно поучительную главу о конечномерных системах можно найти в книге Марсдена и Ратиу: «Введение в механику и симметрию».

Когда фазовое пространство динамической системы является кокасательным расслоением, можно использовать обычные методы канонического квантования и соответствующий интеграл по путям. Однако этот формализм, вообще говоря, не работает для нелинейных фазовых пространств. Одним из важных примеров является случай, когда фазовое пространство определяется нелинейной поверхностью в большем линейном фазовом пространстве.

В принципе, учитывая симметрию фазового пространства, можно свести проблему к меньшему фазовому пространству в два этапа.

1. Работа над «поверхностями постоянной энергии» гамильтониана, порождающего эту стиметрию.
2. Рассматривайте только «инвариантные наблюдаемые» на этих поверхностях.

Эта процедура уменьшает на 2 размерность фазового пространства, и уменьшенная размерность остается четной. Можно доказать, что если исходное фазовое пространство симплектично, то и редуцированное фазовое пространство будет таким же.

Самым простым примером может быть устранение движения центра масс в двухчастичной системе и работа в редуцированной динамике.

Существует теорема Гиймена и Штернберга для некоторых типов конечномерных фазовых пространств, которая утверждает, что квантование коммутирует с редукцией. То есть можно либо квантовать исходную теорию, либо наложить ограничения на квантовое гильбертово пространство, чтобы получить «физические» состояния. Либо можно свести классическую теорию, а затем проквантовать. В этом случае редуцированное гильбертово пространство получается автоматически. Второй случай нетривиален, поскольку редуцированное фазовое пространство становится нелинейным симплектическим многообразием, а во многих случаях оно даже не является многообразием (поскольку действие группы несвободно).

Однако большинство физических приложений рассматривают теории поля, которые соответствуют бесконечномерным фазовым пространствам, и нет аналога теореме Гийемина-Штернберга. (Есть работы Н. П. Ландсмана, пытающиеся обобщить теорему на некоторые бесконечномерные пространства). Но вообще коммутативность редукции и квантования используется в физической литературе, хотя формального доказательства до сих пор нет. Наиболее известным примером является квантование пространства модулей плоских связностей в связи с теорией Черна-Саймонса.

Наиболее известным примером динамики с ограничениями в бесконечномерных пространствах является теория Янга-Миллса, в которой импульс сопряжен с$A_0$исчезает. Следует отметить, что существует альтернативный (и эквивалентный) подход к обработке ограничений и выполнению редукции Марсдена-Вайнштейна через BRST, и это обычный способ обработки теории Янга-Миллса. В этом подходе фазовое пространство расширяется до супермногообразия, а не сокращается. Преимущество такого подхода состоит в том, что получаемое супермногообразие является плоским и можно использовать методы канонического квантования.

В упомянутом случае скалярного поля фазовое пространство можно рассматривать как бесконечное число копий$T^{*}\mathbb{R}$. Отношение$\Pi = \partial_x \phi$является поверхностью ограничений. При наивном подсчете размерностей редуцированного фазового пространства обнаруживается, что в каждой точке пространства измерения 1+1 фазового пространства (поле и сопряженный ему импульс) полностью редуцированы ограничением и его генератором симметрии. Таким образом, у нас остается «нульмерная» теория. Я не разрабатывал этот пример, но я вполне уверен, что если бы этот случай был выполнен тщательно, у нас осталось бы конечное число остаточных параметров. Это признак того, что эта теория является топологической, что можно увидеть через квантование глобального коэффициента».

Обновлять:

В ответ на комментарии Грега здесь приведены дополнительные ссылки и подробности.

В следующей обзорной статье (Аспекты БРСТ-квантования) Дж. В. ван Холтена объясняется БРСТ-квантование электродинамики и теории Янга-Миллса (теория Фаддеева-Попова) как механических систем с ограничениями. Статья содержит другой пример из (конечномерного фазового пространства) квантовой механики. также.

Следующая статья Филлиала О. (Классическая и квантовая механика неабелевых частиц Черна-Саймонса) описывает квантование (конечномерной) механической системы, выполняющей симплектическую редукцию напрямую, без использования БРСТ. Здесь приведенные пространства являются коприсоединенными орбитами (такими как многообразия флагов или проективные пространства). Прекрасная геометрия этих пространств очень хорошо известна, и именно поэтому редукцию можно выполнять здесь напрямую. Для большинства редуцированных фазовых пространств такое явное знание геометрии отсутствует. В теории поля такие задачи, как квантование двумерной теории Янга-Миллса, имеют такое явное описание, но для более высоких измерений я не знаю явного решения (кроме БРСТ).

В следующей статье Костанта и Штернберга описывается эквивалентность теории БРСТ и прямой симплектической редукции.

Теперь об интеграле по путям. Я думаю, что большинство последних достижений в физике были получены с помощью интеграла по путям, даже если в нем есть некоторые слабые места. Я могу отослать вас к следующей книге Картье и Сесиль ДеВитт-Моретт, где они рассмотрели интегралы по траекториям на неплоских симплектических многообразиях и, кроме того, они сформулировали колебательный интеграл по траекториям в терминах процессов Пуассона.

В Commun. Мат. физ. 100, 279–309 (1985) (топологическое квантование и когомологии). Я думаю, что лагранжиан, указанный в вопросе, можно лечить теми же методами. в основном квантование этих слагаемых обусловлено той же физической причиной, по которой должно квантоваться произведение электрических и магнитных зарядов магнитных монополей. Это известно как условие квантования Дирака. В формулировке интеграла по траекториям это следует из требования, чтобы калибровочное преобразование производило фазовый сдвиг, кратный$2\pi$. В геометрическом квантовании это условие следует из требования, чтобы линейное расслоение предквантования соответствовало целочисленной симплектической форме.

Процедуры 1 и 2 эквивалентны, когда действие квадратично по импульсу и когда имеется фиксация калибровки, которая дает унитарную квантовую теорию поля. Унитарность в интеграле по траекториям не очевидна, как сразу заметил Дирак. Он устанавливается либо прямым доказательством положительности отражения в континуальном интеграле, либо переходом к каноническому описанию, где унитарность очевидна, поскольку гамильтониан вещественный.

Важно отметить, что тот факт, что величины в интеграле по траекториям не являются операторами, совершенно несущественен . Их произведения не коммутируют и требуют тщательного определения в терминах временного порядка, что во всех отношениях соответствует неоднозначностям порядка в гамильтоновом формализме. Если вы хотите думать о них как об операторах, вы можете, они действуют на входящие граничные условия так же, как операторы Гейзенберга, потому что они просто матричные элементы операторов Гейзенберга. Нет никакой разницы в свойствах величин в формализме интеграла по путям и любом другом формализме, они не становятся легче в интеграле по путям.

Преобразование Фейнмана-Фурье

Для неквадратичных по импульсу гамильтонианов перейти к континуальному интегралу сложнее, квантовое действие не равно классическому. Общий рецепт перехода к описанию Фейнмана - через интеграл по путям в фазовом пространстве:

$$K(x,y) = \int Dx Dp e^{i\int (p\dot{x} - H(p,q))} dt$$

где термин$p\dot{x}$следует интерпретировать как$p_t(x_{t+\epsilon} - x_t)$, то есть,$\dot{x}$является прямой разностью, а H (p, q) является «нормально упорядоченным», что означает, что все члены p коммутируются, чтобы появиться первыми.

Тогда форма Фейнмана получается путем интегрирования импульса. В общем случае это невозможно сделать в замкнутой форме, поэтому существует много примеров хорошо работающих гамильтонианов, лагранжево описание которых не выразимо в замкнутой форме, например

$$H= p^4 + V(x)$$

и есть обратные примеры хороших лагранжианов, гамильтонова форма которых не очень хорошая. Я приведу такой пример через минуту. Но сначала преобразование Фейнмана.

Когда гамильтониан имеет вид

$$H =K(p) + V(x)$$

Тогда лагранжево описание полностью выражается через функцию K', входящую в эту формулу:

$$e^{-K'(v)} = \int e^{-K(p) + i p v} dx$$

То есть преобразование Фейнмана K 'является логарифмом преобразования Фурье экспоненты минус исходная функция. Чтобы убедиться, что это работает просто, вы поворачиваете каждый интеграл по p и формируете интеграл, используя K'.

Каждое точно выразимое преобразование Фейнмана интересно, но таких очень мало. В литературе есть ровно один:

$$K(p) = {1\over 2} p^2 \implies K'(v) = {1\over 2} v^2$$

Это касается квадратичного импульса. Если ограничиться опубликованной литературой, интегральная таблица Фейнмана выглядит нелепо. Однако это в значительной степени касается всех обычных квантовых теорий поля, так что это немаловажно.

Больше преобразований Фейнмана

Поскольку литература по этому поводу жалкая, вот некоторые нетривиальные преобразования Фейнмана и физика, которую они описывают:

Квантовая механика Коши:

$$K(p) = |p| \implies K'(v) = -\log( 1+ x^2)$$

Это хорошее преобразование, потому что лагранжев интеграл по путям, который вы получаете (в мнимом времени), равен

$$\int Dx e^{-\int \log(1+|\dot{q}|^2) - V(x)}$$

Этот интеграл по путям определяет интеграл по путям по полетам Леви, устойчивое распределение которого является распределением Коши. Вы можете увидеть это, посмотрев на функцию распространения между соседними временами, она дает распределение Коши. Этот интеграл по путям определяет квантовую механику Коши. Это частный случай

Квантовая механика Леви:

$$K(p) = |p|^\alpha \implies K(x) = - \log( L_\alpha(x) )$$

За$0<\alpha<2$, и где$L_\alpha$является единичным устойчивым распределением Леви для показателя степени$\alpha$. Эти квантово-механические системы изучались в последние годы, но их интеграл по путям нигде в литературе не упоминается. Интеграл по путям задается преобразованием Фейнмана.

Есть масса других интересных преобразований Фейнмана, они являются аналогом преобразований Лежандра в классической механике и не менее полезны.

Доказательство унитарности

Интеграл по путям хорошо определен для любой евклидовой статистической теории, но лишь очень немногие из них продолжают квантовую механику. Доказательство унитарности обычно переходит к гамильтоновой формулировке, поскольку она явно унитарна.

Примером неунитарной перенормируемой статистической системы интеграла по путям, которая в остальном совершенно исправна, является

$$\int d^8x |\nabla \phi|^4 + Z|\nabla\phi|^2 + t(\phi)^2 + \lambda \phi^4$$

Эта система изучалась в$8-\epsilon$размеры Мухамеля, потому что его эпсилон-расширение почти такое же, как$4-\epsilon$расширение$\phi^4$модель. В восьми измерениях он определяет совершенно хорошую точку второго порядка, когда Z и t настроены на правильные значения. Но эта теория абсолютно не унитарна --- нет никаких взаимодействующих скалярных квантовых теорий в 8 измерениях. Это сразу видно из представления Каллена.

Любой пропагатор в унитарной теории может быть выражен в евклидовом пространстве как

$$G(k) = \int ds {\rho(s) \over k^2 - s}$$

То есть как суперпозиция обычных пропагаторов при разных значениях$s$массы в квадрате.$\rho(s)$неотрицательна, так как в реальном времени является нормой состояния, создаваемого полем, пропагатор которого вы выражаете. Именно это представление говорит вам, что неправильные знаковые полюса — это призрачные состояния.

The ${1\over k^4 + (A+B) k^2 + AB}$Точечный пропагатор Мухамеля Лифшица (со странной параметризацией) выражается как спектральное представление частичными дробями:

$$G(k) \propto {1\over k^2 + A} - {1\over k^2 + B}$$

Это спектральное представление Каллена-Лемана явно призрачное. Двухполюсный случай имеет функцию Лемана, которая является производной от дельта-функции, которая также не является положительно определенной в пределах.

Существует множество неунитарных евклидовых теорий, и для нахождения унитарных очень полезна формулировка Гамильтона. Например, нахождение калибровки без призраков и преобразование к канонической форме — это то, как вы доказываете, что калибровочная теория унитарна.