Каково фактическое использование гильбертовых пространств в квантовой механике?

Я думаю, что есть два различных способа интерпретации этого вопроса, поэтому я попытаюсь ответить на оба.

Интерпретация 1 : я изучаю стандартную формулировку квантовой механики и решаю такие задачи, как частица в коробке. Мне удобно выполнять все эти вычисления, но я не понимаю, зачем мне знать о гильбертовых пространствах или линейной алгебре.

Это довольно просто. Если вы можете складывать вещи, умножать их на константы и брать внутренние продукты, то вы, по сути,$^\dagger$работа с гильбертовым пространством. Волновые функции, которые вам удобно решать, являются элементами такого пространства, а самосопряженные операторы, представляющие наблюдаемые, являются линейными отображениями одного элемента пространства в другой.

Линейная алгебра — это всего лишь изучение векторных пространств и линейных отображений между ними, так что это, в частности, фон всех вычислений, которые вы выполняете. Когда вы решаете уравнение на собственные значения, такое как уравнение Шредингера, вы занимаетесь линейной алгеброй. Когда вы расширяете общее состояние как суперпозицию собственных состояний некоторой наблюдаемой, вы занимаетесь линейной алгеброй. Когда вы уверены, что такой набор собственных функций вообще существует и что соответствующие собственные значения действительны, это происходит потому, что вы узнали спектральную теорему для самосопряженных операторов, которая является центральным результатом (как вы уже догадались) линейной алгебры (или функциональный анализ, который по существу представляет собой линейную алгебру в бесконечномерных пространствах).

В этом смысле линейная алгебра не столько полезна в стандартной формулировке квантовой механики; дело в том, что стандартная формулировка квантовой механики — это линейная алгебра, хотите вы ее так называть или нет. Конечно, определенные методы, теоремы и общие взгляды на линейную алгебру могут быть чрезвычайно полезны для выполнения вычислений, создания моделей и т. д., но факт остается фактом: независимо от того, как вы это нарезаете, то, что вы делаете, — это линейная алгебра на Гильбертово пространство.

---

$^\dagger$На самом деле это описывает то, что называется предгильбертовым пространством. Чтобы быть полным гильбертовым пространством, существует дополнительное техническое требование, называемое полнотой . Грубо говоря, это означает, что последовательности, которые «выглядят так», что они должны сходиться, на самом деле сходятся . Это важно всякий раз, когда вы используете предел, который появляется, когда вы различаете (например,$\frac{d}{dt}$в уравнении Шредингера) и всякий раз, когда вы разлагаете волновую функцию в бесконечный ряд собственных векторов некоторой наблюдаемой.

---

Интерпретация 2 : Я понимаю, что формулировка квантовой механики, которую я сейчас изучаю, основана на гильбертовом пространстве (т.е. векторном пространстве со скалярным произведением) как на центральной концепции, но я не понимаю, почему такая конструкция обеспечивает правильное описание природы.

Это гораздо более глубокий вопрос. На самом глубоком уровне физическая теория есть не что иное, как механизм присвоения вероятностей возможным результатам измерений. Стандартная формулировка квантовой механики делает это несколько своеобразным способом: мы устанавливаем соответствие между измеримыми свойствами системы и линейными отображениями в некотором гильбертовом пространстве (а затем действуем так, как вы узнали).

Этот подход работает, как показали многие тысячи экспериментов за последние сто лет, но далеко не очевидно, почему это правильный путь. Некоторое понимание может быть получено из алгебраической формулировки квантовой механики, в которой центральным объектом рассмотрения является так называемая алгебра наблюдаемых , элементы которой представляют различные измеримые свойства данной системы.

С одной стороны, это очень приятно — мы работаем и обращаемся непосредственно к вещам, которые собираемся измерять, и во многих случаях даже возможно получить эту квантовую алгебру наблюдаемых, соответствующим образом поработав с соответствующей классической алгеброй наблюдаемых ( хотя я следует сказать, что последнее является другой разновидностью алгебры). Недостатком является то, что эта формулировка квантовой механики очень абстрактна и очень сложна — настолько, что я готов поспорить, что подавляющее большинство работающих физиков в лучшем случае лишь косвенно осознают ее существование.

К счастью, для тех из нас, кто не заинтересован в изучении$C^*$-алгебры до крови, есть альтернатива этой тяжелой математической абстракции. Согласно теореме Гельфанда-Наймарка , любая такая алгебра наблюдаемых может быть конкретно реализована как операторы на некотором гильбертовом пространстве . Таким образом, мы возвращаемся к стандартной формулировке квантовой механики, но с новой точки зрения: кажущийся произвольным выбор для моделирования квантовой системы вокруг гильбертова пространства является выбором, рожденным не необходимостью, а скорее удобством, поскольку он обеспечивает конкретная реализация того, что в противном случае было бы ужасно абстрактным описанием природы.

Представление Шредингера отдает предпочтение позиционному базису для представления состояния системы. В этом нет необходимости, поскольку квантовая механика работает в любом базисе (например, в импульсном или энергетическом базисе), поэтому стоит изучить более общий формализм, рассматривающий все базисы в равных условиях (например, обозначение скобки Дирака, который я буду называть «языком операторов»).

Есть несколько практических примеров того, как использование языка операторов дает вам преимущества по сравнению с простым решением уравнения Шредингера.

• Метод лестничного оператора, примененный к квантовому гармоническому осциллятору, был бы моим «стартовым примером» того, как линейная алгебра, гильбертовы пространства и операторные методы действительно используются для решения проблем и дают вам больше понимания, чем просто уравнение Шредингера.
• Другим примером из вводной КМ является вывод о том, что угловой момент квантуется, в котором также используются лестничные операторы, построенные из коммутационных соотношений операторов углового момента.
• В качестве более сложного примера вы можете решить атом водорода, используя лестничные операторы и скрытую$SO(4)$симметрия.
• Переход от точных решений к запутанным приложениям реального мира, в вырожденной теории возмущений (например, применяемой для вычисления поправок к спектру водорода в приложенном электрическом поле), ключевым шагом является определение полного набора наблюдаемых, которые коммутируют с гамильтонианом возмущения. это можно использовать для поиска «хорошего базиса» состояний для решения уравнений возмущения.
• Если вы изучите релятивистскую квантовую теорию поля, то в конце концов обнаружите, что уравнение Шредингера на самом деле вообще не используется в расчетах, потому что оно становится слишком громоздким и нужны другие методы. То же самое верно и для некоторых областей физики конденсированного состояния.

Есть также много формальных преимуществ.

• Принцип неопределенности Гейзенберга можно вывести в нескольких строках из коммутатора операторов положения и импульса на операторном языке. Вывод можно обобщить, чтобы получить соотношение неопределенностей между любыми двумя эрмитовыми операторами, которые не коммутируют.
• Симметрии в квантовой механике можно понять, используя теорию представления групп симметрии на операторном языке. Это позволяет нам классифицировать частицы в зависимости от того, как они трансформируются при симметрии (такая логика привела к открытию кварков).
• В релятивистской квантовой теории поля симметрии специальной теории относительности ( группа Пуанкэра ) используются для определения того, что понимается под частицей. Вы также можете сделать вывод, что частицы можно классифицировать по их массе, спину и внутренним квантовым числам, таким как заряд.
• Когда вы переходите к многочастичным системам, очень важно иметь хорошее представление о представлении оператора . Уравнение Шредингера дает многим людям неверное представление о том, что волновая функция определена в «пространстве», тогда как в операторной картине более ясно, что состояние является функцией положения (и других степеней свободы) каждой частицы . Это приводит к невероятному количеству путаницы, которой можно избежать.
  • Свойства идентичных частиц также могут быть получены из операторов обмена .
  • Также важно понимать, что гильбертово пространство, в котором «живут» бозоны и фермионы, отличается от гильбертова пространства неидентичных квантовых частиц, потому что состояния должны быть полностью симметричными или антисимметричными.
• Матрицы плотности, которые легче всего определить на операторном языке, позволяют вам иметь дело с ситуациями, когда в состоянии системы присутствует как «квантовая», так и «классическая» неопределенность, позволяя вам рассматривать квантовые системы при конечной температуре.
• В нотации бракета можно доказать эквивалентность между картиной Шредингера, картиной Гейзенберга, промежуточными (или «взаимодействующими») картинками и формализмом интеграла по путям. Все это разные, но эквивалентные формулировки квантовой механики, каждая из которых полезна в разных обстоятельствах. Способность переходить от одного к другому является важным навыком по мере того, как вы становитесь более продвинутым, и это было бы очень сложно без оператора и языка гильбертова пространства.

Это далеко не полный список. Но просто сказать, что операторный язык используется в квантовой механике многими способами и решить уравнение Шредингера, недостаточно для глубокого понимания.

Я думаю, что проблема в том, что иногда в физике люди гораздо больше озабочены результатами вычислений, чем природой лежащих в их основе математических структур. Чтобы привести краткий пример, в общей теории относительности нас часто интересует изучение движения частицы в некотором пространстве-времени. Затем часто обозначают координаты мировой линии частицы как$x^\mu(\tau)$и изучает уравнение геодезической

$$\ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\left(x\left(\tau\right)\right)\dot{x}^\nu \dot{x}^\sigma=0.\tag{1}$$

Хорошо,$x^\mu(\tau)$тогда всего лишь четыре функции одной переменной, а$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}(x)$это просто набор функций четырех переменных$x^\mu$.

Что касается расчета, то он сводится к (1), но за кадром$x^\mu(\tau)$действительно координатный представитель кривой в гладком многообразии с полуримановой метрикой, в то время как$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$являются координатными представителями объекта, называемого связностью Леви-Чивиты на указанном многообразии.

То же самое можно сказать и о квантовой механике. Можно просто посмотреть на уравнение Шредингера

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi=i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\tag{2}$$

и видим там уравнение в частных производных второго порядка для комплекснозначной функции$\Psi(t,x)$. Это был бы квантово-механический нерелятивистский аналог (1).

Опять же, что касается расчета, то он сводится к (2), но теперь за кадром$\Psi(t,x)$на самом деле является кривой в гильбертовом пространстве$t\mapsto \Psi(t,\cdot)$элементами которого являются комплекснозначные функции, интегрируемые с квадратом. Можно сослаться на еще более абстрактную точку зрения, в которой мы имеем основание$|x\rangle$и мы смотрим количество$\Psi(t,x)=\langle x|\Psi(t)\rangle$как координаты вектора$|\Psi(t)\rangle$в той основе.

Такого рода вещи везде: у нас есть одна абстрактная математическая структура, лежащая в основе всех вычислений в физике. Причина, по которой важна эта абстрактная математическая структура, а не просто расчет, заключается в том, что она организует вещи гораздо более логичным образом. Это позволяет лучше понять, устранить двусмысленность, а иногда дает представление об упрощении вычислений.

Поскольку вы изучаете квантовую механику, вы скоро обнаружите это: когда вы изучаете гармонический осциллятор, выполнение вычисления компонентов (2) приведет вас к решению уравнения Эрмита. Но использование абстрактной точки зрения гильбертова пространства приведет вас к операторам уничтожения и создания, а также к относительно более простому (и, по-моему, более элегантному) методу получения ваших решений.

То же самое произойдет с орбитальным угловым моментом, где (2) приведет вас к изучению проблемы собственных значений Лапласа на сфере (и, в конечном итоге, к связанному уравнению Лежандра), тогда как абстрактная точка зрения гильбертова пространства приведет вас к изучению алгебры вращений, которая в конечном итоге дает вам альтернативную конструкцию сферических гармоник.

Поскольку вам нужен пример того, где здесь можно использовать абстрактную формулировку векторов состояния, это своего рода «вывод» (читается как мотивация) оператора импульса в пространстве позиций. Все нижеследующее в 1-D

Предполагать$\left|\Psi(t)\right>$– вектор состояния системы и$\left|x\right>$является позиционным собственным состоянием (строго говоря, они не находятся в гильбертовом пространстве). С$\left|x\right>$составляет основу нашего пространства, мы можем записать состояние как линейную комбинацию$\left|x\right>$следующее

$$\left|\Psi(t)\right>=\int \mathrm{d}x \left|x\right> \left<x| \Psi(t)\right>$$ Теперь мы можем позаимствовать из классической механики и использовать тот факт, что импульс является генератором перемещений. Таким образом, мы можем написать инфинитезимальный оператор сдвига$T(dx)$как $$T(dx)=1-i\frac{\hat p dx}{\hbar}$$ The $-i$появляется с$\hat p$считается эрмитовым (т.$\hbar$для соответствующих единиц) и что

а)$T(dx)$быть унитарным
б)$T(-dx)=T^{-1}(dx)$и это
в)$T(dx)T(dx')=T(dx+dx')+O(dx^2)$

Мы можем подать заявку$T(\Delta x)$в наше состояние выше, и мы получаем

$$\begin{aligned}(1-i\frac{\hat p \Delta x}{\hbar})\left|\Psi(t)\right>&=\int\mathrm{d}x'T(\Delta x)\left|x'\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'+\Delta x\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>\left<x'-\Delta x| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(\left<x'| \Psi(t)\right>-\Delta x\frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>) \end{aligned}$$ Во второй строке используется определение$T(dx)$на собственной схеме позиции третья строка делает замену переменных$x'+\Delta x \rightarrow x'$и последняя строка выполняет разложение Тейлора. Расширение обеих сторон и отмена$\left|\Psi(t)\right>$мы получаем $$\hat p \left|\Psi(t)\right>=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>)$$

Умножая слева на$\left<x\right|$и используя тот факт, что$\left<x|x'\right>=\delta(x-x')$мы получаем

$$\left<x\right|\hat p \left|\Psi(t)\right>=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \left<x| \Psi(t)\right>$$

С$\left<x| \Psi(t)\right>$- волновая функция, оператор импульса в позиционном пространстве

$$\hat p_{position\ space}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

Я вижу, что здесь задаются два важных вопроса:

Вопрос 1: В чем смысл линейной алгебры в КМ, если все проблемы, которые я решаю, обычно работают с волновыми функциями и используют любую линейную алгебру?

Вопрос 2: Что концептуально означает «гильбертовы пространства»? Почему «гильбертовы пространства» упоминаются так часто, как будто в них есть что-то особенное, когда это определение почти никогда не упоминается и не используется ни в одном реальном решении проблем, с которым я сталкивался.

На первый вопрос отвечают @user7896, @andrew, @jMurray и @gold. Я думаю, что эти ответы в порядке, но есть и другое предложение.

Я рекомендую вам взглянуть на системы со спином 1/2. Это широко используемая система, которая может находиться в дискретной суперпозиции только двух дискретных возможностей (вращение вверх или вращение вниз). Квантовое состояние этой системы может быть представлено простой матрицей 2x1 (массивом вероятностных амплитуд, связанных с каждым состоянием). Это простейшее квантовое состояние для работы, и его часто называют кубитом. Часто просто линейной алгебры достаточно, чтобы сказать вам, что произойдет с этим состоянием. Если, например, вы хотите увеличить его во времени, вы можете умножить его на$e^{i\hat{H} t}$где$\hat{H}$представляет собой матрицу 2 на 2, представляющую гамильтониан системы. Я считаю, что метод линейной алгебры гораздо полезнее для понимания того, как интерферируют амплитуды вероятностей. Теперь любую задачу с дискретным числом состояний можно просто решить с помощью линейной алгебры, и вы можете очень четко видеть, как складываются и вычитаются амплитуды вероятностей.

Кроме того, все непрерывные системы (например, частица в ящике) на самом деле могут рассматриваться как то, что происходит, когда вы берете вектор и даете ему неисчислимое бесконечное количество возможностей (с амплитудами вероятности, связанными с каждой возможностью). Итак, представьте, что частица в ящике находится в N дискретных ячейках, а затем увеличьте количество ячеек до бесконечности. Вы можете представить его с помощью линейной алгебры для дискретной части, а полное непрерывное представление — это просто, когда вы переносите его на бесконечное количество ячеек.

Пока только один человек (@J.Murray) пытался ответить на второй вопрос:

Вопрос 2: Что концептуально означает «гильбертовы пространства»? Почему «гильбертовы пространства» упоминаются так часто, как будто в них есть что-то особенное, когда это определение почти никогда не упоминается и не используется ни в одном реальном решении проблем, с которым я сталкивался.

Технически в википедии написано, что:

Гильбертовы пространства (названные в честь Дэвида Гильберта) позволяют обобщить методы линейной алгебры и исчисления с двумерных и трехмерных евклидовых пространств на пространства, которые могут иметь бесконечную размерность. Гильбертово пространство — это векторное пространство, снабженное операцией скалярного произведения, позволяющей определить функцию расстояния и перпендикулярность (известную в данном контексте как ортогональность). Кроме того, гильбертовы пространства полны для этого расстояния, а это означает, что в пространстве достаточно ограничений, чтобы можно было использовать методы исчисления.

Что похоже на то, что я говорил в первой части ответа. (Переместите ячейки в бесконечность и переработайте алгебраическое скалярное произведение в этом пределе).

Но есть один концептуальный компонент, который, как мне кажется, здесь отсутствует. По аналогии мы часто используем термин «гильбертово пространство» для обозначения «пространства возможностей», в котором живут наши амплитуды вероятностей. Это «пространство возможностей» для простых задач обычно очень очевидно для простых задач. Таким образом, для системы кубитов (например, частицы со спином 1/2) наши амплитуды вероятности могут существовать только в 2 возможных состояниях (таким образом, мы могли бы иметь состояние$\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$например, что может быть записано как$\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$как вектор).

Но для системы с 2 кубитами количество возможностей равно 4. А для системы с 3 кубитами количество возможностей равно 8 (каждая возможная конфигурация возможных способов, которыми 3 частицы могут быть вверх или вниз, например, сколько конфигураций существует для подбрасывания 3 монет). ). Каждому возможному исходу можно присвоить свою независимую амплитуду вероятности.

Например, гильбертово пространство для трехкубитной системы:

$\begin{align} |0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3 \\ \end{align}$

Гильбертово пространство для трехкубитной системы — это набор всех возможных конфигураций, в которых может находиться каждое из этих состояний, и мы присваиваем амплитуды вероятности этим комбинаторным конфигурациям . Так, например, система с 3 кубитами может находиться в состоянии суперпозиции.$|0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3- |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3$. Тот факт, что амплитуды вероятности присваиваются возможным исходам, является, на мой взгляд, сутью КМ.

Это означает, что наше «гильбертово пространство» (которое мы на самом деле имеем в виду как пространство возможностей, в котором существуют все наши конфигурации, которым можно присвоить амплитуды вероятностей) становится намного, намного больше.

Именно это разговорное использование термина «гильбертово пространство», в котором мы имеем в виду экспоненциально растущее пространство возможностей, я думаю, очень редко объясняется и часто является источником концептуальной путаницы.

Ваше замешательство связано с разницей в том, как математику преподают физикам и математикам.

Например, возьмите такое выражение, как

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2.$$ Физик немедленно начал бы вычислять это, используя известные ему инструменты, но математик сначала задавал бы вопросы. Это потому, что этот интеграл на самом деле является пределом: $$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^R\mathrm d x\, |f(x)|^2$$ Так что математик может спросить, существует ли вообще этот предел? Если это не так, вы можете получить бессмысленные ответы, которые меняются в зависимости от того, как вы берете лимит. Возможно, вы могли бы задать другие правильные вопросы, но я физик, поэтому я их не знаю.

Одним из результатов, которые привели к гильбертовым пространствам, является тот факт, что если$f,g$оба интегрируемы с квадратом, т.е.

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2\text{ is finite}$$ тогда мы можем определить внутренний продукт, заданный выражением $$\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx f^*(x)g(x).$$ Этот внутренний продукт имеет много хороших свойств, благодаря которым он ведет себя как обычный скалярный продукт, и это позволяет нам использовать возможности линейной алгебры. См. также https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space#History .

Так что заниматься квантовой механикой, не зная о гильбертовых пространствах, это все равно, что водить машину, не зная, как работает двигатель. В большинстве случаев с вами все будет в порядке, но вы должны ценить всю тяжелую работу, проделанную при создании и обслуживании вашего автомобиля. Я прошел курс QM, имея лишь смутное представление о гильбертовых пространствах. На самом деле одна из первых волновых функций, о которой вы узнаете, это$\exp(ipx/\hbar)$которая является собственной функцией оператора импульса, а также гамильтониана свободной частицы. Эта волновая функция даже не интегрируема с квадратом, и поэтому она не является правильным решением для свободной частицы (хотя суперпозиция в виде интеграла является). Это часто заметают под ковер и на то есть веские причины. Вы хотите узнать о квантовой механике, и изучение всей теории гильбертовых пространств будет длительным и/или запутанным.