Спонтанное нарушение симметрии в классической механике, квантовой механике и квантовой теории поля

Третий вопрос Q3 в основном является предметом совсем недавней работы Н.П. Ландсмана.

В квантовой теории спонтанное нарушение симметрии требует, чтобы система была бесконечномерной. Когда число степеней свободы конечно, спонтанного нарушения симметрии не происходит. Рассмотрим, например, частицу в одном измерении, движущуюся в потенциале двойной ямы, туннелирование происходит между двумя вырожденными состояниями, соответствующими минимумам потенциала, что приводит к уникальному основному состоянию линейной суперпозиции. В бесконечном числе степеней свободы предел. Вероятности перехода между вырожденными состояниями обращаются в нуль, тем самым разбивая гильбертово пространство на взаимно недоступные сектора, построенные над каждым основным состоянием.

Хорошо известно, что в классических системах с конечным числом степеней свободы возможно спонтанное нарушение симметрии, что подчеркивается также в следующем обзоре Нарнгофера и Тирринга. Учитывая, что (чистое) состояние в классической системе - это точка в фазовом пространстве (смешанное состояние - это распределение вероятностей по фазовому пространству); тогда классическое спонтанное нарушение симметрии означает, что существуют начальные условия, приводящие к инвариантным во времени решениям, которые не являются инвариантными относительно группы симметрии. Например, в двойной яме размещение частицы в одной яме без достаточной энергии, чтобы выбраться, описывает спонтанно нарушенное состояние.

Есть много других примеров конечных классических систем, демонстрирующих спонтанное нарушение симметрии, наиболее известным из которых может быть потеря устойчивости стержней , другим примером является система шарика, кольца и пружины .

Теперь, как подчеркивает Ландсман, Большой$N$квантовые системы аналогичны классическим системам в том смысле, что квантовые корреляции исчезают, когда$\frac{1}{N}$, что приводит к поставленному вопросу о том, что для конечного$N$независимо от того, насколько оно велико, спонтанное нарушение симметрии не допускается, тогда как в термодинамическом пределе система становится бесконечной и спонтанное нарушение симметрии разрешено. Тот же вопрос можно задать$\hbar \rightarrow 0$.

Объяснение Ландсмана состоит в том, что когда N становится очень большим, система становится экспоненциально неустойчивой по отношению к возмущению, нарушающему симметрию, которое переводит систему в одно из вырожденных состояний уже при очень большом, но конечном$N$. Ландсман проводит анализ с помощью алгебраической квантовой механики, и для полного понимания статьи необходимо знакомство с его предыдущими работами.

Я думаю, что вы используете два разных вида «нарушения симметрии». Обычное представление о спонтанном нарушении симметрии в конденсированных средах возникает в термодинамическом пределе. Это происходит как в классической, так и в квантовой системе. В этом сценарии различные основные состояния бесконечно отделяются друг от друга. Так что в модели со спинами на решетке — квантовой или классической — если спины выровняются, потребуется бесконечное количество энергии, чтобы выровнять их в другом направлении за счет локальных флуктуаций.

Часто понимают, что спонтанное нарушение симметрии может произойти только в термодинамическом пределе. Например, статистическая сумма должна быть аналитической при конечном числе частиц, и, следовательно, не может быть фазового перехода и, следовательно, не может быть SSB. (Я открыто признаю, что не совсем понимаю, почему факты о пределе бесконечного размера так хорошо применимы к большим, но конечным физическим системам в квантовом случае.)

То, что вы перечислили в качестве первых двух случаев, — это различие между классическими и квантовыми конечными системами, а именно. классическая система может иметь основные состояния, нарушающие симметрию, тогда как конечная квантовая система не может. Это качественно отличается от обычного SSB. Это не спонтанно .

Возьмите потенциал Хиггса с классической частицей, начинающейся сверху. Если вы ничего не делаете, он находится наверху, симметрия сохраняется. Если вы коснетесь его один раз, он будет ковылять между двумя минимумами из-за сохранения энергии, поэтому в среднем сохраняется симметрия. Если вы попытаетесь рассеять энергию, связав свою частицу с шумом, то вы проведете много времени в нижней части одного из минимумов. Но есть конечная вероятность того, что шум будет колебаться и отбрасывать вашу частицу в другой колодец. Итак, опять же, если вы посмотрите достаточно долго, симметрия в среднем сохраняется. Вам нужен бесконечный потенциальный барьер, чтобы иметь реальное спонтанное нарушение симметрии.

В случае симметричного потенциала двойной ямы (гамильтониан даже ниже четности) туннелирование происходит между двумя состояниями, локализованными в двух минимумах, при условии, что барьер конечен. Эти два состояния являются суперпозицией основного и первого возбужденного состояний гамильтониана, поэтому они не являются собственными состояниями гамильтониана. Если мы настроим высоту барьера как параметр в сторону бесконечности, разница энергий между основным и 1-м возбужденными состояниями уменьшится, а на бесконечной высоте она исчезнет, ​​образуя вырожденное основное состояние, одно из которых антисимметрично относительно четности (хотя гамильтониан симметричен относительно четности). Это спонтанное нарушение симметрии.

Чтобы наблюдать фазовый переход, мы должны достичь этого основного состояния с нарушенной симметрией, начиная с начального основного состояния, т.е. мы должны выйти за пределы этого бесщелевого (вырожденного) состояния к отрицательной щели. По мере того, как мы увеличиваем высоту барьера и подводим систему к фазовому переходу, процедура останавливается, едва достигнув критической точки. К сожалению, нет возможности выйти за пределы этой точки и наблюдать фазовый переход в этой системе.