Каково определение группы двойственности E7(7)E7(7)E_{7(7)}?

Как объясняет Википедия,$E_7$относится к нескольким тесно связанным вещественным и комплексным группам Ли и алгебрам Ли .

Все различные$E_7$Группы Ли (алгебры) — это подгруппы (подалгебры) Ли комплексной группы Ли$E_7$(алгебра$e_7$), соответственно. Последний имеет комплексную размерность$133$и ранг $7$.

Конкретно,$E_{7(7)}\equiv E_{7(+7)}\equiv E_{7,7}$— вещественная группа Ли, где соответствующая алгебра Ли — расщепляемая алгебра Ли , а ее форма Киллинга — расщепленная вещественная форма. $E_{7,7}$Группа Ли является подгруппой$Sp(56;\mathbb{R})$.

Фактические конструкции групп см., например, в arXiv:1007.4758 .

Некомпактная группа Ли$E_{7,7}$это группа двойственности${\cal N}=8$супергравитация в$D=4$. Дискретный$U$-группа двойственности теории струн типа II, компактифицированная на шеститорном$T^6$является

$$E_{7,7}(\mathbb{Z}):=E_{7,7} \cap Sp(56;\mathbb{Z}),$$ как первоначально предполагалось в arXiv:hep-th/9410167 .