Что такое «гетеротическая компактификация струн»?

Исключительные группы возникают при компактификации гетеротических струн в двух смыслах. Сначала скажем немного о гетеротической теории струн, которая понадобится нам ниже.

Существуют две гетеротические теории струн, образующие две из пяти теорий суперструн в десяти измерениях. Эти две теории струн имеют разные фундаментальные симметрии, причем одна имеет$E_8 \times E_8$симметрия и другая$SO(32)$симметрия. То, как проявляется эта симметрия, будет более подробно рассмотрено ниже. (Здесь$E_8$— одна из исключительных простых групп Ли, и$SO(32)$также является простой группой Ли. Прямой продукт$\times$в$E_8 \times E_8$просто говорит, что есть два разных$E_8$симметрии, которые независимы.)

Гетеротическая теория струн (любая из двух различных теорий) примерно равна половине теории бозонных струн, которая живет в 26 измерениях, в паре с половиной суперсимметричной теории струн, которая живет в 10 измерениях. (Точный способ объединения этих двух различных теорий для получения гетеротической теории струн описан в любом учебнике по теории струн. Тот факт, что гетеротическая теория струн является своего рода гибридной теорией, является причиной названия «гетеротическая».)

Первое чувство:

Эти две объединенные теории живут в разных измерениях, и для объединения этих двух теорий теория бозонных струн сначала компактифицируется на 16-мерном торе.$T^{16}$. Структура теории струн накладывает ограничения на структуру этого тора, и эти ограничения приводят по существу к двум возможным выборам. (Возможные торы задаются так называемыми возможными четными самодуальными решетками в шестнадцати измерениях.) Этим двум различным вариантам компактификации тора соответствуют две гетеротические теории струн. Далее, в каждой из двух гетеротических теорий струн симметрия ($E_8 \times E_8$или$SO(32)$) возникает как группа симметрии этого шестнадцатимерного тора$T^{16}$(или соответствующую решетку).

Таким образом, компактификация теории бозонных струн, которая была сделана для того, чтобы дать последовательный способ объединить ее с теорией суперструн и таким образом сформировать гетеротическую теорию струн, привела в случае одной из теорий гетеротических струн к теории с исключительная группа (на самом деле их две,$E_8 \times E_8$) как группу симметрии. Это один из способов, в котором компактификация гетеротических струн порождает исключительные группы.

Второй смысл:

При низких энергиях каждая из пяти теорий суперструн имеет эффективное низкоэнергетическое описание, данное теорией супергравитации, и эти супергравитации являются теориями поля. В зависимости от теории суперструн эта теория поля имеет различное полевое содержание. В частности, когда мы начинаем с теории гетеротических струн, содержание поля низкоэнергетической теории включает калибровочные поля. На самом деле есть$496=2\times248$различных векторных полей в теории низких энергий, и калибровочная группа этих векторных полей в точности равна$E_8 \times E_8$или$SO(32)$в случаях теории двух гетеротических струн. (Группа симметрии теории струн спускается к калибровочной симметрии низкоэнергетической теории поля, т. е. к супергравитации.)

Кроме того, гетеротическая теория струн живет в десяти измерениях, и один из классических способов попытаться привести эту теорию в соответствие с наблюдаемыми четырьмя измерениями — компактифицировать остальные шесть. Оказывается, непротиворечиво (или даже необходимо) включать некоторые значения приведенных выше калибровочных полей в этих компактифицированных измерениях, оставаясь при этом в устойчивом вакууме. В частности, можно включить значения калибровочных полей, но не напряженность калибровочного поля («линии Вильсона»), или можно включить сами напряженности калибровочного поля.

Включение этих калибровочных полей (в компактифицированном пространстве) в вакуумном состоянии спонтанно нарушает полную калибровочную симметрию: калибровочные преобразования больше не отображают нас в одно и то же состояние. Например, мы можем включить калибровочные поля, которые находятся в одном из$E_8$калибровочные группы$E_8 \times E_8$гетеротическая теория струн (действительно супергравитация). В зависимости от того, как мы включим калибровочные поля, симметрия может быть нарушена до различных оставшихся групп симметрии. (Если бы мы никоим образом не нарушали симметрию, то видели бы полное$E_8 \times E_8$.)

Обычно (по крайней мере, в качестве первого шага) оставляют один из$E_8$непрерывными факторами и включить калибровочные поля в другом$E_8$фактор. Этот$E_8$Затем фактор может быть нарушен (наличием ненулевых калибровочных полей) на различные возможные оставшиеся симметрии, включая, например,$SU(5)$,$SO(10)$, и$E_6$. Каждая из них представляет собой очень интересные оставшиеся симметрии, потому что они содержат (и могут быть нарушены путем дальнейшего нарушения симметрии) калибровочную группу$SU(3) \times SU(2) \times U(1)$Стандартной модели (они являются общими группами ТВО).$E_6$исторически был широко используемым вариантом, поскольку считался многообещающим кандидатом GUT.

Следовательно, при компактификации гетеротической теории струн от десяти до четырех измерений калибровочные поля в компактифицированном пространстве могут использоваться для нарушения исходной калибровочной симметрии и создания оставшихся групп симметрии, которые являются феноменологически интересными группами ТВО, которые могут содержать Стандартную модель. Дальше$E_6$часто искали как оставшуюся группу симметрии (как и другие варианты). Следовательно, это еще один смысл, в котором компактификация гетеротических струн порождает исключительные группы.