Каково значение меры отрезка MNMNMN?

Если мы отражаем$H$через$AB$и$AC$получаем две новые точки$F$и$G$.

С$BE$и$CD$являются биссектрисами угла$\angle DEH$и$\angle HDE$мы видим$D,E,F$и$G$коллинеарны. Сейчас$MN$это средняя линия в треугольнике$HGF$в отношении$FG$какая длина

$$\begin{align}FG &= FD+DE+EG\\ &= DH+DE +EH\\&=26 \end{align}$$ так $$MN = {1\over 2}FG = 13$$

Если вы знаете, что ортоцентр родительского треугольника совпадает с центром треугольника педали, то работу можно упростить. В противном случае, как вы упомянули, мы всегда можем показать это, используя теорему о вписанном угле и теорему о средней точке, но это не так быстро, как другой ответ.

Я буду говорить об углах$\triangle ABC$как$\angle A, \angle B$и$\angle C$.

Мы видим четырехугольник$BDOH$является циклическим.

$\angle OHD = \angle OBD = 90^\circ - \angle A$

$\angle DHM = 90^\circ - \angle OHD - \angle BHM$

$= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) - (90^\circ - \angle B) = \angle A + \angle B - 90^\circ$

$= 180^0 - \angle C - 90^\circ = 90^\circ - \angle C$

Также дано$AMHN$циклический,

$\angle HMN = \angle HAN = 90^\circ - \angle C$

В прямоугольном треугольнике$\triangle DMH$,$\angle HMN = \angle DHM$так$P$должен быть центром описанной окружности треугольника.

Точно так же я оставлю это для вас, чтобы показать, что$Q$является центром окружности$\triangle ENH$.

Как только вы это покажете,$P$и$Q$являются серединами$DH$и$EH$соответственно отсюда следует, что

$PQ = \frac{DE}{2}, MP = \frac{DH}{2}, NQ = \frac{EH}{2}$

Добавляя их,$MN = 13$