Раскрутиться с бесконечной спиралью

Хорошо, я подозреваю, что понимаю ваше недоумение ... Вы просто обмануты неуместным небрежным языком «праворукая спиральность». Такого нет.

Для простоты предположим, что вращение вверх направлено в направлении z , а импульс — в направлении z .$p^\mu= (\sqrt{m^2+p^2},0,0,p)$, и проверьте свой спинор в базисе Вейля (хиральном),$\psi_L=\frac12(1-\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi,\quad \psi_R=\frac12(1+\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I_2 \end{pmatrix}\psi$,

$$u(p)= \left(\begin{array}{c} \sqrt{p ·\sigma}\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{p ·\bar\sigma}\xi_{\uparrow} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \psi_L \\ \psi_R \end{array}\right).$$

Сейчас$\sqrt{p ·\sigma}\xi_{\uparrow}= \sqrt{E-p} ~\xi_{\uparrow}$, и$\sqrt{p ·\bar\sigma}\xi_{\uparrow}= \sqrt{E+p}~\xi_{\uparrow}$, так что

$$u(p)= \left(\begin{array}{c} \sqrt{E-p} ~\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{E+p}~\xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ конечно, как левокиральные, так и правокиральные. Верхняя компонента, вообще говоря, не обращается в нуль при положительной спиральности .

Проверьте 3 предела. Для p =0, E=m и

$$u(0)= \sqrt{m} \left(\begin{array}{c} \xi_{\uparrow} \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ совершенно беспристрастно - спиральность не определена.

При m = 0 две верхние компоненты проецируются, и выживают только две нижние (фактически только третья),

$$u(p)= \sqrt{2p} \left(\begin{array}{c} 0 \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ так действительно правша: происхождение небрежного обозначения положительной спиральности как «R», поскольку спиральность и хиральность идентичны.

Для$p\gg m$,

$$u(p)\longrightarrow \sqrt{2p} \left(\begin{array}{c}m/2p ~ \xi_{\uparrow} \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ так что есть и левохиральная часть, но сильно субдоминантная по отношению к правой киральной части. Опять же, это спинор с положительной спиральностью, не оторванный от своей левой киральной части.

Обратное утверждение представлено в Википедии : для массивных частиц различные состояния хиральности (например, возникающие в зарядах слабого взаимодействия) имеют как положительные, так и отрицательные компоненты спиральности в отношениях, пропорциональных массе частицы .

Учебник Itzykson & Zuber, 2-2-1 , дает полезное определение оператора спиральности; в нашем случае,

$$\hat{h}= \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0 \\0 & \sigma^3 \end{pmatrix},$$ в соответствии с вышеизложенным: он считывает собственное значение +1/2 как для верхнего, так и для $\psi_L$, а нижний, $\psi_R$, компонент, как надо.

Если кто-то не был благополучно освобожден от языковой ловушки, которую следует избегать, или если вы не любите парадоксальные утверждения, чтобы держать аудиторию в напряжении, это неприятная идея - бросаться терминами хиральности для количественной оценки спиральности ...

• PS. Более подходящим названием было бы «Спиральность с неопределенной хиральностью»!

Есть две вещи, которые, я думаю, вы, возможно, неправильно понимаете. Во-первых, спинор содержит не только информацию о вращении, но и информацию об энергии и импульсе.

$$\bar{u}\gamma^\mu u= 2(E,\vec{p})$$ Вам нужно использовать все 4 компонента спинора, чтобы описать это.

Другое дело называть компоненты спинора$\psi_L$и$\psi_R$имеет смысл только для безмассовых частиц (или частиц, которые движутся очень быстро).

Если ты в покое,$p=(m,0,0,0)$и 0-й компонент$\sigma$является единичной матрицей, поэтому ваш спинор просто

$$u(p_{rest frame})= \left(\begin{array}{c} \sqrt{m}\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{m}\xi_{\uparrow} \end{array}\right)$$ И оба $\psi_L=\psi_R$независимо от того, указывает ли он вверх или вниз (или что-то среднее между ними). Когда вы ускоряете компоненты в направлении вращения, один из $\psi_L$или $\psi_R$станет меньше, а другой больше. В пределе очень большого, но конечного импульса одна из этих двух компонент будет очень малой в зависимости от спиральности. Это предел, в котором имена $\psi_R$и $\psi_L$имеет смысл. Но «неправильный» компонент по-прежнему должен быть отличен от нуля, чтобы дать вам информацию об импульсе.

Так что проблема в том, что я не понял, что$\psi_L$и$\psi_R$являются собственными состояниями хиральности , а не собственными состояниями спиральности .

В пределе высоких энергий, когда спиральность и хиральность в основном являются одним и тем же, состояние действительно становится собственным состоянием (я сделал математику, но это слишком долго, чтобы публиковать это здесь, если кто-то не попросит об этом).