Каковы причины использования оператора упорядочения по времени?

Я встретил оператора заказа времени Т во многих местах, например, в сериале Дайсона

U ( т ) "=" Т опыт ⁡ ( − я ℏ ∫ 0 т г т ′ ЧАС ( т ′ ) ) ,

или в определении одночастичной функции Грина

я г ( т , т ′ ) "=" ⟨ Т ψ ( Икс , т ) ψ † ( Икс ′ , т ′ ) ⟩ .

В этих замечательных конспектах лекций, написанных профессором Кай Суном , он перечислил несколько причин использования оператора упорядочения по времени:

  • Трюк для получения дельта-функций в уравнении движения функции Грина;
  • Интеграл по путям приводит к Т естественно;
  • Оператор эволюции U ( т ) "=" Т опыт ⁡ [ я ∫ г т ЧАС ( т ) ] (серия Дайсона);
  • С Т , бозоны и фермионы объединены вместе. Одна и та же теория с двумя разными граничными условиями.

Итак, мой вопрос : это просто математический трюк для оператора упорядочения времени Т в квантовой механике? Имеет ли он более глубокий физический смысл? Например, есть ли какое-либо отношение к симметрии обращения времени?

Привет, Джек. Ваш заголовок должен подчеркивать то, о чем вы спрашиваете. У вас есть условия для добавления тегов по теме вашего вопроса.
Привет, Унникришнан. Спасибо за ваши приятные выводы, я буду учиться и совершенствовать свои навыки. Я также рад присоединиться к этому интересному сообществу.
Вот некоторые связанные вопросы и ответы: physics.stackexchange.com/q/173603 , physics.stackexchange.com/a/56217/55689
Профессор Марк Средненицкий (из учебника по КТП) однажды сказал мне, что в контексте КТП он в основном рассматривает ее как технический прием, облегчающий перевод между гамильтоновым оператором и лагранжевым формализмом интеграла по путям, не имеющий большого физического значения.
@tparker Этого не может быть (если я неправильно понял вопрос). Трюк — это то, что вам не нужно использовать, но вы делаете это, потому что это удобно. Я почти уверен, что опускание порядка времени просто неправильно. Например, без него оператор эволюции во времени не удовлетворял бы своему определяющему уравнению...
@QuantumDot Во многом это сводится к определениям. Да, я согласен, что опустить Т в уравнениях, в которых он появляется, сделало бы их неверными, но большинство этих величин можно определить другим способом, который не требует символа упорядочения по времени. Например, в принципе можно было бы начать с множества различных операторных гамильтонианов и заново вывести эквивалентные лагранжевы действия для каждого из них независимо, но используя Т дает удобное правило быстрого доступа, которое работает для любого гамильтониана. Если вам не нравится слово «трюк», возможно, лучше подойдет «алгоритм».
@tparker, вы имеете в виду получение эквивалентного интеграла по путям из разных операторных гамильтонианов?
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/103503/2451 и ссылки там.
В контексте конденсированных сред я бы сказал, что упорядочение по времени является «трюком» в следующем смысле: вы можете вычислить упорядоченные по времени функции Грина, используя интегралы по траекториям/диаграммы Фейнмана, но вам нужны запаздывающие функции Грина, чтобы получить наблюдаемые. Затем есть несколько формул, которые вы можете использовать, чтобы связать упорядоченные во времени функции зеленого цвета с функциями запаздывающего зеленого. Таким образом, порядок времени удобен, а затем есть «уловки», чтобы получить фактические функции зеленого цвета, которые вы хотите.

Ответы (2)

Временной порядок появляется как следствие определения гамильтониана как генератора переносов времени. На картине Шёдингера:

| ψ ( т ) ⟩ ≈ ( 1 − я ℏ ЧАС ( т ′ ) [ т − т ′ ] + О ( [ т − т ′ ] 2 ) ) | ψ ( т ′ ) ⟩ ,
где соотношение становится точным в пределе т − т ′ → 0 + . Это упражнение в теории групп Ли заключается в применении множественных переводов времени, чтобы получить:
| ψ ( т ) ⟩ "=" лим Н → ∞ ∏ Дж "=" 1 Н ( 1 − я ℏ ЧАС ( т ′ + Дж Н [ т − т ′ ] ) [ т − т ′ Н ] ) | ψ ( т ′ ) ⟩ ,
это еще один способ написать серию Дайсона. Если все гамильтонианы в разное время коммутируют друг с другом, то ряд Дайсона становится обычной экспонентой.

Повторим еще раз: упорядоченность во времени просто возникает естественным образом как процесс пошагового перехода от времени начала к времени окончания.

Что функция Грина удовлетворяет уравнению:

я г ( т , т ′ ) "=" ⟨ Т ψ ( т ) ψ ( т ′ ) ⟩ ,
следует как следствие приведенного выше фактического определения функции Грина. Функция Грина определяется уравнениями движения свободной части теории. Если свободные уравнения движения:
л ψ ( т ) "=" 0 ,
для некоторого линейного дифференциального оператора л , то определение г ( т , т ′ ) является:
л г ( т , т ′ ) "=" дельта ( т − т ′ ) .
Другими словами, это реакция ψ поля к единичному импульсу (в точке) в классическом пределе.

Однако существует более одной функции Грина, потому что вы можете добавить любое решение к однородному уравнению в интересующей области:

л г 0 ( т ) "=" 0 ,
чтобы получить другую функцию Грина. Из-за этого возможно несколько функций Зеленых. Наиболее часто используется «запаздывающая» (причинная) функция Грина, удовлетворяющая
г ( Икс , т ; Икс ′ , т ′ ) "=" 0
в любое время ( Икс , т ) находится вне направленного вперед светового конуса с вершиной в ( Икс ′ , т ′ ) . «Расширенная» функция Грина идентична с ориентацией светового конуса, перевернутой в противоположном направлении. Упорядоченный во времени пропагатор также известен как пропагатор Фейнмана, и он симметричен относительно обращения времени.

Упорядочивание по времени является особенностью решения для U ( т ) как интегральное уравнение с использованием последовательных итераций. Он не ограничивается квантовой механикой, и некоторая его версия встречается в классической гамильтоновой механике, например, в подходе преобразования Ли к теории возмущений, как подробно описано в

  • Дж. Р. Кэри, Phys.Rep. 79 (1981) 129 (раздел 2.2)
  • Классическая механика Эрнесто Коринальдези (раздел 9.2).

Хитрость в той мере, в какой хитростью является решение методом последовательных приближений, но так как это особенность такого подхода к решению для U ( т ) и не ограничиваясь квантовой механикой, она вряд ли будет связана на каком-то фундаментальном уровне с какой-либо квантовой симметрией. Конечно, изюминка КТП заключается в том, что временной порядок эволюции приводит к упорядочению операторов, тем самым связывая теоремы о спиновой статистике с временным порядком.

Каковы причины использования оператора упорядочения по времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v