Почему оператор бозонного поля в импульсном пространстве содержит как оператор рождения, так и оператор уничтожения?

Question

Почему оператор бозонного поля в импульсном пространстве содержит как оператор рождения, так и оператор уничтожения?

Джей Рен

Для фермионного поля преобразование реального пространства в импульсное пространство представляет собой простое преобразование Фурье.

ψ^{†} (Икс) "=" \sum_{к} с_{к}^{†} е^{я к \cdot Икс}

$\psi^\dagger(x)=\sum_{\mathbf{k}}c^\dagger_{\mathbf{k}}e^{ik\cdot x}$ Но в бозонном случае полевой оператор

ф (Икс) "=" \sum_{к} [б_{- к}^{†} + б_{к}] е^{я к \cdot Икс}

$\phi(x)=\sum_{k}\left[b^\dagger_{-k}+b_{k}\right]e^{ik\cdot x}$ Откуда эта разница? Каков физический смысл этой разницы?

jkds

Не уверен о чем ты. Вы можете выбрать любой полный набор одночастичных функций

{ϕ_{i} (x)}_{i = 1, . . ., \infty}

$\{\phi_i(x)\}_{i=1,...,\infty}$ и

Ψ (x) = \sum_{i} b_{i} ϕ_{i} (x)

$\Psi(x)=\sum_i b_i \phi_i(x)$ , с

[b_{i}, b_{j}^{†}] = δ_{i j}

$[b_i,b_j^\dagger]=\delta_{ij}$ . Обычно затем вы усекаете основу для любых практических вычислений.

тбт

причина такого выражения

ϕ

$\phi$ является не бозонной статистикой, а реальностью поля (или эрмитовостью полевого оператора). Комплексное бозонное поле будет записано как

ϕ^{†} = \sum_{α} c_{α} a_{α}^{†}

$\phi^{\dagger}= \sum_{\alpha} c_{\alpha} a^{\dagger}_{\alpha}$

jkds

Да, второе уравнение не является оператором бозонного поля. Аналогичное выражение для бозонов имеет вид

Ψ (x)^{†} = \sum_{k} b_{k}^{†} e^{i k x}

$\Psi(x)^\dagger=\sum_k b_{k}^\dagger e^{ikx}$ использование плоских волн в качестве базисных функций (нормировка по модулю).

Ответы (3)

Почему оператор бозонного поля в импульсном пространстве содержит как оператор рождения, так и оператор уничтожения?

Не уверен о чем ты. Вы можете выбрать любой полный набор одночастичных функций $\{\phi_i(x)\}_{i=1,...,\infty}$ и $\Psi(x)=\sum_i b_i \phi_i(x)$ , с $[b_i,b_j^\dagger]=\delta_{ij}$ . Обычно затем вы усекаете основу для любых практических вычислений.
причина такого выражения $\phi$ является не бозонной статистикой, а реальностью поля (или эрмитовостью полевого оператора). Комплексное бозонное поле будет записано как $\phi^{\dagger}= \sum_{\alpha} c_{\alpha} a^{\dagger}_{\alpha}$
Да, второе уравнение не является оператором бозонного поля. Аналогичное выражение для бозонов имеет вид $\Psi(x)^\dagger=\sum_k b_{k}^\dagger e^{ikx}$ использование плоских волн в качестве базисных функций (нормировка по модулю).

Элио Фабри · Answer 1

$\def\bk{{\bf k}} \let\dag=\dagger$ Я никогда не видел выражения, подобного вашему первому. Для фермионного поля я бы написал

ψ (Икс) "=" \sum_{к, с} (а_{к, с} {ты}_{к, с} е^{- я к Икс} + б_{к, с}^{†} в_{к, с} е^{я к Икс}) .

$\psi(x) = \sum_{\bk,s} \left(a_{\bk,s} u_{\bk,s} e^{-ikx} + b_{\bk,s}^\dag v_{\bk,s} e^{ikx}\right).$ Опуская некоторые детали,

a_{k, s}

$a_{\bk,s}$ является оператором разрушения частицы с импульсом

k

$\bk$ и спиральность

s

$s$ , пока

b_{k, s}^{†}

$b_{\bk,s}^\dag$ является оператором рождения соответствующей античастицы. Конечно

ψ^{†} (Икс) "=" \sum_{к, с} (а_{к, с}^{†} {ты}_{к, с}^{*} е^{я к Икс} + б_{к, с} в_{к, с}^{*} е^{я к Икс}) .

$\psi^\dag(x) = \sum_{\bk,s} \left(a_{\bk,s}^\dag u^*_{\bk,s} e^{ikx} + b_{\bk,s} v^*_{\bk,s} e^{ikx}\right)\!.$

Для поля заряженных бозонов имеет место совершенно аналогичное уравнение, тогда как для нейтрального, где частицы и античастицы совпадают, вы бы имели $a$ вместо $b$ с.

ОП говорит о нерелятивистской системе многих тел, поэтому фермионное поле не содержит античастиц.

Майк Стоун · Answer 2

Поле Ферми подчиняется $\{\psi(x),\psi^\dagger(x')\}=\delta^3(x-x')$ так что нам не нужны оба $a_k$ и $a^\dagger_k$ в поле $\psi(x)$ получить это от $\{a_k,a^\dagger_{k'}\}= \delta_{kk'}$ . Для бозе-поля нам нужно $[\phi(x),\partial_t \phi(x')]=i\delta^3(x-x')$ так что нам нужны оба $b_k$ и $b^\dagger_k$ в поле, чтобы получить ненулевой коммутатор.

Я думаю, что это просто отодвигает вопрос о том, почему нам нужно это забавно выглядящее коммутационное соотношение для бозонного поля, а не для фермионного поля.
@tparker Хороший вопрос. Я думал о фононах, где $\Pi(x)=\dot \phi$ а не бозоны Шредингера (например, атомы гелия), где $\Pi(x)=i\phi$ . В последнем случае нам нужно только $[\phi(x),\phi^\dagger(x')]= \delta^3(x-x')$ и $\phi$ имеет только $b_k$ точно так же, как случай Ферми, и как объяснил Кейс выше.

тпаркер · Answer 3

Разница на самом деле не сводится к бозонным и фермионным. Вместо этого два вида полей возникают в разных контекстах. Поле первого типа, которое содержит только преобразование Фурье лестничного оператора одного типа, обычно возникает в нерелятивистских ситуациях, когда нет античастиц. Последний тип поля, который содержит как оператор рождения, так и оператор уничтожения, имеет тенденцию возникать в релятивистских ситуациях или в нерелятивистских ситуациях, в которых эффективное описание теории поля имеет эмерджентную лоренц-инвариантность и / или античастицы. Любой тип поля может состоять из операторов бозонной или фермионной лестницы, но они полезны в разных контекстах и подчиняются немного другим (анти)коммутационным соотношениям.

Почему оператор бозонного поля в импульсном пространстве содержит как оператор рождения, так и оператор уничтожения?

Джей Рен

jkds

тбт

jkds

Ответы (3)

Элио Фабри

тбт

Майк Стоун

тпаркер

Майк Стоун

тпаркер

Связь между Хаббардом-Стратоновичем и (обобщенными) когерентными состояниями

Вывод золотого правила Ферми для времени жизни квазиэлектронов

Связанные состояния и длина рассеяния

Пертурбативный ряд для бозонов

Неравновесные функции Грина

Значение оператора магнитного переноса, определенное в описании дробного КЭХ

Правильное определение функции Ванье

Фермионный гамильтониан: вопросы преобразования Боголюбова и эрмитовости

Квантовая теория поля и приближение Хартри-Фока

Смена знака в электронно-дырочной форме вторичного квантования