Каковы самые ранние известные доказательства того, что планиметры «работают»?

Использование планиметров для иллюстрации теоремы Грина - относительно недавняя дидактическая разработка. Ни Грин, ни Коши, ни Риман не интересовались приборами, и наоборот, разработчики планиметров не привлекали к математическому объяснению своего «принципа» чего-то столь абстрактного.

Типы приведенных математических доказательств можно увидеть в « Механических интеграторах» Шоу, включая различные формы планиметров (1886 г.) . Они не были формальными, но и доказательств не было до того, как в конце XIX века была введена формальная математика. Идея состояла в том, чтобы напрямую свести движения колеса к тому, что мы сейчас назвали бы суммой Римана. Подобные доказательства можно найти в современных учебниках. Шоу, похоже, считает Амслера своим основным источником по математике. Амслер был швейцарским математиком, который изобрел полярный планиметр в 1854 году и, вероятно, был знаком с работами Гаусса по дифференциальной геометрии по своим исследованиям в Кенигсберге в 1840-х годах. Шоу прямо приписывает ему распространение этой идеи на неплоские поверхности:

« Поскольку один только планиметр Амслера, насколько известно автору, был модифицирован для измерения площади любой неразворачивающейся поверхности, то здесь можно отметить эту модификацию... Теория действия этого прибора была полностью объяснена профессором Амслера в статье, в которой обсуждается теория соотношений между измерением на сферической поверхности и на плоской поверхности » .

Но более простые планарные доказательства, безусловно, старше. Максвелл рискнул сконструировать свой собственный планиметр («платометр», как он назвал его в честь Санга) после того, как увидел их выставленными на Большой выставке 1851 года в Хрустальном дворце в Лондоне, что в целом дало им известность. В «Описании новой формы платометра — инструмента для измерения площадей плоских фигур» (1855 г.) он отмечает, что « очень удачное изложение принципа действия таких инструментов можно найти в статье о планиметрах в отчетах жюри Конституционного суда». Великая выставка 1851 г. », и приводит геометрический аргумент, предположительно построенный на ее основе. Вот отрывок:

« Поэтому, если у нас есть машина с индексом любого вида, которая, в то время как производящая линия перемещается вниз на один дюйм, перемещается вперед на столько градусов, сколько образующая линия имеет длину в дюймах, и если производящая линия попеременно перемещается на дюйм и При изменении длины указатель будет обозначать количество квадратных дюймов, пройденных за всю операцию. С помощью обычного метода пределов можно показать, что, если эти изменения делать непрерывными, а не внезапными, указатель по-прежнему будет измерять площадь кривой, очерченной концом образующей » .

Более ранние публикации первоначальных изобретателей трудно отследить, но там можно ожидать аргументов того же рода, возможно, без упоминания ограничений. Самый ранний известный из них принадлежит Гонелле из Флорентийского университета, который заново изобрел планиметр с колесом и конусом в 1824 году и почти сразу же опубликовал его. Он также быстро придумал конструкцию колеса и диска, которую он представил на Большой выставке 1851 года.

Германн, мюнхенский землемер, изобретший в 1814 году самый ранний из известных планиметров, не только ничего не опубликовал, но и пользовался им только в частном порядке. Впервые он описан в « Zur Geschichete der Planimeter» Бауэрнфайнда (1855 г.), опубликованном в « Polytechnische Journal» Динглера . Возможно, были и более ранние частные изобретения, теперь утерянные, и независимые переизобретения продолжались до 1851 года, когда Санг изобрел свой платометр, см. Care, Illustrating the History of the Planimeter .