Каковы шесть степеней свободы атомов в твердом теле?

Для степени свободы, энергия которой квадратична только по импульсу (но плоская по положению или плоская с твердыми стенками), классически средняя энергия равна$kT/2$. Это основная теорема о равнораспределении для идеального газа. Однако менее известный результат состоит в том, что классическая степень свободы с квадратичной энергией как по импульсу, так и по положению имеет среднюю энергию$kT$. Атомы в твердом теле в некотором смысле находятся в трехходовом гармоническом осцилляторе (это модель Эйнштейна), и, следовательно, каждый имеет$3NkT$энергия, т.е.$3Nk$теплоемкость.(†)

Чтобы понять это интуитивно, вы должны, конечно, вывести для себя теорему о равнораспределении. Но, по сути, имея энергию, также квадратичную по положению, вы делаете состояния с более низкой энергией менее распространенными; не только низкая энергия требует небольшого импульса, но и определенного положения. С увеличением энергии становится доступным все больше и больше позиций. В отличие от плоского потенциала положение всегда может принимать любое значение, поэтому для состояния с низкой энергией требуется только небольшой импульс.

Итак, если бы вы представили каждый атом в твердом теле, а не в собственной маленькой коробочке с твердыми стенками, то такая модель только дала бы$3Nk/2$теплоемкость.

(†) Хорошо, на самом деле все атомы связаны друг с другом, однако, если вы посмотрите на это таким образом, вы больше не сможете так просто говорить об отдельных вкладах отдельных атомов. Глядя на все эти колебания, вы получаете фононы и модель Дебая. Хотя в основном все атомарные гармонические осцилляторы смешиваются вместе в различных модах, но, конечно, количество мод остается таким же, как исходное количество отдельных осцилляторов. Но каждая мода сама по себе является гармоническим осциллятором, поэтому вы получаете$3Nk$теплоемкость при высокой температуре. (‡)

(‡) На самом деле только$3(N-\frac{1}{2})k$поскольку три коллективных моды не колеблются, а скорее соответствуют линейному движению всего блока материала. Таким образом, каждый из этих трех режимов дает только$kT/2$.

Есть 3 направления вибрации: а именно компоненты$x$,$y$а также$z$и каждое из этих направлений имеет 2 степени свободы; один из потенциальной энергии и один из кинетической энергии. Так что всего есть$3\times 2 = 6$степени свободы.

Шесть степеней свободы действительно, как вы предполагали, вибрационные. Точно так же, как есть три поступательных степени свободы, каждая для одного пространственного направления, есть две (количество нормальных мод) колебательных степеней свободы для каждого направления. Это составляет в общей сложности$3*2=6$степеней свободы на атом.

Ответ на комментарий; связывающие нормальные режимы и степени свободы

Осциллятор может вибрировать по-разному, но все они являются суперпозицией его обычных мод. В этом смысле он чем-то аналогичен, например, собственным состояниям гамильтониана в задачах КМ. Например, у электрона есть два спиновых состояния (вверху и внизу), и он может находиться только в суперпозиции этих двух. Точно так же система с двумя нормальными модами может находиться только в суперпозиции этих двух «основных колебаний». Таким образом, количество нормальных мод равно количеству степеней свободы.

степень свободы = количество способов свободно передвигаться

В общем, есть три оси для перемещения любой конкретной частицы, атома или молекулы: ось x, ось y и ось z.

В твердом теле частица/молекула/атом не могут свободно двигаться, поскольку они перегружены окружающими атомами по сравнению с газами.

Однако они могут свободно перемещаться по этим осям x, y и z с помощью своей энергии или энергии соседей. Позвольте мне объяснить это: личную энергию атома можно рассматривать как его потенциальную энергию, которую можно использовать для движения по любой из этих трех осей (x, y или z). Это означает, что потенциальную энергию атома можно использовать для движения вдоль любой из трех осей, толкая соседние атомы вдоль этих осей. Следовательно, у него есть 3 направления, или градуса, или оси, чтобы свободно двигаться, используя собственную энергию. Отсюда 3 способа свободно двигаться, используя свою личную энергию.

Остальные 3 способа или степени, которые заставляют атом свободно двигаться в твердом теле, - это удары соседних атомов по любой из этих 3 осей (x, y или z).

Таким образом, в твердых телах атом может свободно перемещаться по этим трем осям, либо толкая соседние атомы, либо толкая соседние атомы вдоль этих осей x, y или z.

3 оси для толкания других атомов + те же 3 оси для толкания другими атомами = 6 способов движения (Свобода).