Каковы величины ускорения падающих шаров B и C относительно A? (Нужна помощь с биномиальной аппроксимацией)

У меня в основном проблема с аппроксимацией. Моя проблема ближе к концу поста, но я записал все свои шаги на случай, если я где-то ошибся.

Итак, в этом вопросе 3 мяча стартуют с нулевой скоростью и начинают падать на землю. Они выровнены по вертикали: шар A находится посередине, шар B находится в 22 м прямо над A, а шар C — в 22 м прямо под A.

Вопрос просит меня найти величину ускорения мяча B и C по отношению к A. В вопросе также говорится использовать биномиальное приближение, потому что в противном случае, когда вы численно вычисляете величину, ваш калькулятор не будет хранить достаточно значков, чтобы дать вам точный результат.

До сих пор я сделал:

Ф "=" м а

Ускорение шара А равно а → А "=" Ф А м А , и то же самое для шаров B и C

Сила гравитации равна Ф Б "=" г М е м Б р Б 2 где М е это масса земли, а р Б это радиус между центром земли и центром шара B.

Теперь ускорение земли на шаре B равно а → Б "=" г М е р Б 2

Нам нужно ускорение B относительно A, поэтому мы можем написать

а → Б − а → А "=" г М е р Б 2 − г М е р А 2

Мы можем переписать р Б "=" р А + 22 м

Так а → Б − а → А "=" г М е ( р А + 22 м ) 2 − г М е р А 2

а → Б − а → А "=" г М е [ 1 ( р А + 22 м ) 2 − 1 р А 2 ]

Теперь вот где я потерялся. Я не знаю, как включить приближение ( 1 + Икс ) н ≈ 1 + н Икс

( р А + 22 м ) − 2 не следует ( 1 + Икс ) н формат

я поставил выражение 1 ( р + Икс ) 2 в вольфрам, чтобы увидеть, есть ли какие-либо альтернативные формы выражения, которые я могу применить к аппроксимации, и я не смог найти ни одной. я тоже пытался выкинуть 1 р А 2 получить

г М е р А 2 [ р А 2 ( р А + 22 м ) 2 − 1 ] Но это также не работает с приближением.

Если бы кто-нибудь мог указать мне в правильном направлении или дать мне подсказку, это было бы очень признательно

Изменить: вопрос P1.5 из Общей рабочей тетради Мура по теории относительности.

Ответы (3)

Когда у вас есть выражение формы ( а + б ) н , где | а | ≫ | б | , вы можете переписать его как

( а + б ) н "=" ( а ( 1 + б а ) ) н "=" а н ( 1 + б а ) н
а потом, учитывая, что | н б а | ≪ 1 (и а + б > 0 ), примените биномиальное приближение, чтобы получить
а н ( 1 + б а ) н ≈ а н ( 1 + н б а ) .

В вашем примере р А ≈ 6371 к м ≫ 22 м , поэтому мы можем написать

1 ( р А + 22 м ) 2 "=" ( р А + 22 м ) − 2 "=" р А − 2 ( 1 + 22 м р А ) − 2 ≈ р А − 2 ( 1 − 2 ⋅ 22 м р А )
а затем вычесть р А − 2 чтобы получить
1 ( р А + 22 м ) 2 − 1 р А 2 ≈ р А − 2 ( 1 − 2 ⋅ 22 м р А ) − р А − 2 "=" − 2 ⋅ 22 м ⋅ р А − 3 .

Умножьте это на г М е , и вы получите ответ.

Спасибо за информацию о том, когда подходит биномиальное приближение! Я очень ценю, что вы подробно рассказали об этом. Я продолжал пытаться вытащить 22-метровый, когда должен был вытащить р а , как ты говорил. Спасибо чувак!

Просто делать

1 ( р А + 22 ) 2 "=" 1 ( 22 ) 2 ( р А 22 + 1 ) 2
Теперь у вас есть срок
( 1 + р А 22 ) − 2 ≈ 1 − р А 11

В первой строке 22 следует заменить на 22 2 .
Спасибо, что заметили это.
Разве это не задом наперед (и тоже отсутствует единица измерения)? р А ≫ 22 м , поэтому биномиальное приближение недействительно, как вы его написали.

Для биномиальной аппроксимации вам нужно вынуть 22 м . Так:

( р А + 22 м ) − 2 "=" 1 ( р А + 22 м ) 2 "=" 1 ( 22 м ) 2 ( р А 22 м + 1 ) 2

∴       биномиальное расширение:       ( 1 + Икс ) н ≈ 1 + н Икс
Также:

( 1 + а Икс ) н ≈ 1 + н а Икс           где     а     является     постоянный

У нас есть:

Постоянный × ( 1 + а Икс ) н "=" 1 ( 22 м ) 2 ( р А 22 м + 1 ) − 2 ≈ 1 ( 22 м ) 2 ( 1 − 2 р А 22 м )     ,   где     н "=" − 2

Большое спасибо! Не могу поверить, что мне не пришло в голову вытащить 22-метровый. Престижность
Подождите, я думаю, что в вашем решении есть опечатка. Вместо 1 22 не должно быть 1 22 2 ?
@MB Вы правы насчет 22 2 .
Чтобы сделать этот подход более общим, если у вас есть какое-то условие, например р ≪ р вы можете переписать его как р р ≡ Икс ≪ 1 . Если у вас есть функция ф ( р , р ) что вы хотите аппроксимировать, вы можете заменить каждый р с Икс р и, наконец, вы можете расширить Тейлора в Икс потому что Икс является малым параметром (принимая во внимание р постоянный)
@MB Спасибо, я исправил опечатку!
Разве это не назад? Биномиальное приближение справедливо для Икс рядом с 0 , но в этом случае р А 22 м ≫ 1 .
@IlmariKaronen прав. Это приближение будет справедливым только в том случае, если расстояния от шаров до центра Земли ( р А , р Б , и р С ) были намного меньше 22 метров.
Каковы величины ускорения падающих шаров B и C относительно A? (Нужна помощь с биномиальной аппроксимацией)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v