Канонические коммутационные отношения

Логично ли принять каноническое коммутационное соотношение (CCR)

[ Икс , п ]   "="   я ℏ

как постулат квантовой механики ? Или правильнее вывести его, учитывая некоторую форму для п в основе положения?

Я понимаю, что формализм QM работает, просто я иногда заканчиваю тем, что думаю по кругу, когда пытаюсь понять, где находятся постулаты.

Не мог бы кто-нибудь дать мне ясное и логичное объяснение того, что следует принять в качестве постулата в этом отношении, и объяснить, почему их точка зрения в каком-то смысле является наиболее правильной!

Ответы (3)

Ваше беготня по кругу прекратится, как только вы сделаете выбор.

Что считать постулатом — это всегда вопрос выбора (вашего или того, кто пишет изложение основ). Начинают с точки, где развитие в каком-то смысле простейшее. И можно мотивировать постулаты аналогиями или чем-то еще. CCR — это простая независимая от координат начальная точка.

Однако разумнее ввести импульс как бесконечно малый генератор переноса в позиционном пространстве. В этом ее фундаментальный смысл, существенный для теоремы Нётер, и CCR является простым следствием.

Вы можете либо принять его как постулат (в этом случае часто удобнее постулировать CCR и CAR для операторов создания и уничтожения), либо вы можете вывести отношение в позиционном базисе с помощью

Икс ^ "=" Икс ∧ п ^ "=" − я ℏ ∇ ⇒ [ Икс ^ , п ^ ] "=" − я ℏ Икс ∇ + я ℏ + я ℏ Икс ∇

так как вы должны принять правило продукта при подаче заявки ∇ Икс к функции ф .

Вы также можете получить их по принципу эквивалентности с классической механикой, который гласит, что { д , п } "=" 1 для скобок Пуассона { ⋅ , ⋅ } которые связаны с коммутатором множителем я ℏ . То, что этот принцип эквивалентности выполняется, видно, например, из теоремы Эренфеста .

Выбор постулатов несколько произволен в том смысле, что при заданном наборе постулатов почти всегда можно найти альтернативный набор. Выбор определяется субъективными критериями, такими как простота, близость к эксперименту или теоретическая элегантность.

Однако бывают ситуации, когда некоторые постулаты/теоремы не имеют смысла. Например, [ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ не имеет смысла в формулировке квантовой механики Вигнера и Мойала ни как постулат, ни как теорема, потому что эта формулировка квантовой механики не использует операторы :

Главное преимущество формулировки фазового пространства состоит в том, что она делает квантовую механику максимально похожей на гамильтонову механику, избегая операторного формализма, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» гильбертова пространства.

Хотя формулировка квантовой механики в фазовом пространстве не использует коммутационные соотношения, их все же можно получить в виде теоремы при переходе от общего состояния фазового пространства к волновой функции конфигурационного пространства: Вт ( п , Икс ; т ) → Ψ ( Икс ; т ) . Именно, явный вывод [ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ дано в моей статье Положительно определенная квантовая механика фазового пространства.

Вигнеру-Мойалу все еще нужно построить гильбертово пространство, чтобы оно было полным основанием, а затем есть операторы, и CCR имеет смысл, хотя и не как постулат.
@ArnoldNeumaier: Прежде чем ответить, я хотел бы знать, что именно вы подразумеваете под «Вигнеру-Мойялю все еще нужно построить гильбертово пространство, чтобы оно было полным основанием». Я могу интерпретировать это несколькими способами.
ОП спросил о CCR как о части основы для QM. Вы упомянули Вигнер-Мойяля. Что бы вы ни имели в виду, оно либо конструирует гильбертово пространство, тогда CCR имеет смысл там, но не как постулат, либо нет, тогда это паршивое основание.
@ArnoldNeumaier: Извините, но мне это по-прежнему непонятно. Я все еще могу интерпретировать ваши слова несколькими альтернативными способами и не могу выбрать правильный ответ. Позвольте мне быть более конкретным. Почему вы думаете/верите, что необходимо построить гильбертово пространство, чтобы обосновать формулировку Вигнера-Мойяля, если она даже не требует волновых функций?
Без функции wqve настройки слишком ограничены. Как вычислить цвет золота в постановке Вигнера-Мойяля, не имея волновой функции?
@ArnoldNeumaier Цвет золота получается из-за разницы между двумя уровнями энергии. Вычисление доступных энергий в формулировке Вигнера и Мойала требует не волновой функции, а использования соответствующего звездного уравнения фазового пространства. ЧАС ( п , Икс ) ⋆ р Е ( п , Икс ) "=" Е р Е ( п , Икс ) . Как сказано выше, для формулировки КМ не требуется никакого гильбертова пространства.
@juanrgra: гильбертово пространство может быть построено в описании Вигнера-Мойяля, поэтому оно всегда существует, даже если его якобы избегают.
@ArnoldNeumaier Как я уже упоминал выше, гильбертово пространство можно получить из фазового пространства. Ключевым моментом здесь является то, что формулировка Вигнера и Мойала продолжает работать для систем, описание которых выходит за пределы гильбертова пространства. Мы можем построить функции Вигнера для состояний вне гильбертова пространства.
Канонические коммутационные отношения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v