Связано ли каноническое коммутационное соотношение с тем, что импульс является генератором пространственных перемещений?

В общем случае для двух самосопряженных операторов$A,B$, преобразование$A$при унитарном преобразовании$U_B(t) := \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}$с параметром$t$Сгенерированно с помощью$B$по теореме Стоуна дается для центрального$[X,Y]$по форме формулы BCH :

$$U_B(t)AU_B(t)^\dagger = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Bt} = A + [B,A]t$$ то есть трансформация$A$к$B$просто сдвиги$A$коммутатором двух, и даже если коммутатор не центральный, это все еще верно для бесконечно малых$t$. Это квантовая версия классического утверждения о том, что скобка Пуассона двух функций в фазовом пространстве дает бесконечно малый сдвиг одной за счет преобразования, порожденного другой, ср. этот мой ответ .

В случае$x$и$p$, коммутатор равен единице, поэтому преобразование с параметром$t$просто сдвигает один наблюдаемый на$t$. То есть коммутационное соотношение действительно является квантово-механической версией утверждения о том, что оператор положения порождает переносы по импульсу, а импульс порождает переносы по положению.

И наоборот, знание того, что оператор перевода бесконечно мало задается оператором импульса, позволяет вывести форму самого оператора импульса, если представление оператора положения фиксировано, см. этот вопрос . По существу, содержание теоремы Стоуна — фон Неймана состоит в том, что коммутационные соотношения между положением и импульсом (точнее, их экспоненциальная форма, соотношение Вейля между сдвигом по положению и сдвигом по импульсу) однозначно (с точностью до коммутационного соотношения, сохраняющего унитарный изоморфизм ) исправляет сами операторы.

Да, есть глубокая связь. Предположим, вы просто скажете мне, что$P$является генератором перевода. Тогда я знаю, что все состояния положения$|r\rangle$можно получить как

$$|x\rangle=\exp(iP\cdot x)|0\rangle$$ Это можно использовать для определения действия $P$на собственное состояние положения. $$P|x\rangle=P\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)|x\rangle$$ С этим я могу определить коммутационное соотношение для каждого состояния положения $$[X,P]|x\rangle=XP|x\rangle-PX|x\rangle=X(-i\nabla_x)|x\rangle-(-i\nabla_x)X|x\rangle=i|x\rangle$$ Наконец, мы знаем, что любое состояние может быть выражено как суперпозиция состояний положения, поэтому $$[X,P]|\psi\rangle=[X,P]\sum_x \psi(x)|x\rangle=i|\psi\rangle$$ верно для любого состояния $|\psi\rangle$с волновой функцией $\psi(x)$. Вы можете восстановить $\hbar$везде, чтобы заставить единицы работать.

Предположим, что существует нормализованное состояние$|s>$где$<s|s>=1$. Ожидаемая стоимость его позиции равна

$$x_0=<s|X|s>$$

Если объект |s> переводится$x$, новое состояние$e^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$, а ожидаемое значение$x_{new}$его положение

$$x_{new}=<s|e^{\frac{ixP}{\hbar}}Xe^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$$ Затем, используя формулу BCH (которая просто расширяет экспоненты и собирает термины) $$x_{new}=<s|X+[\frac{ixP}{\hbar},X]+\frac{1}{2!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]+\frac{1}{3!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]]+...|s>$$ Теперь подставьте в $[P,X]=-i\hbar$и обратите внимание, что кратные коммутаторы более высокого порядка имеют константу и, следовательно, равны нулю. $$x_{new}=<s|X+x+0+0+...|s>$$ $$x_{new}=x_0+x$$ Как рекламируется, оператор перевода $e^{-\frac{ixP}{\hbar}}$с каноническим коммутационным соотношением $[X,P]=i\hbar$переместил состояние так, чтобы его новое математическое ожидание позиции увеличилось на $x$. Генератор преобразования (т. е. оператор в показателе степени) есть P, поэтому его называют генератором перевода.